Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (x) \cos (x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Kemudian $d u = \cos (x) d x$ sehingga $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \sin (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{lower} = \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 1.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \sin (x)$ .

$u_{upper} = \sin (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1} u^{3} d u$

Langkah 2

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{3}$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$\frac{1}{4} u^{4}]_{\frac{\sqrt{2}}{2}}^{1}$

Langkah 3

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Evaluasi $\frac{1}{4} u^{4}$ pada $1$ dan pada $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{1}{4} \cdot 1^{4}) - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Langkah 3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{4} \cdot 1 - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Langkah 3.2.2

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{4}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{4}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali ${\sqrt{2}}^{4}$ sebagai $2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{2}$ sebagai $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{4}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{4}{2}}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.4

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{\frac{2}{1}}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.1.4.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2^{2}}{2^{4}}$

Langkah 4.1.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{2^{4}}$

Langkah 4.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$\frac{1}{4} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Langkah 4.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.4.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Langkah 4.1.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{4} + \frac{- 1}{4} \cdot \frac{4}{16}$

Langkah 4.1.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

Langkah 4.2

Untuk menuliskan $\frac{1}{4}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{16}$

Langkah 4.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $16$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4 \cdot 4} - \frac{1}{16}$

Langkah 4.3.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$\frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

Langkah 4.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{4 - 1}{16}$

Langkah 4.5

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{3}{16}$

Langkah 5

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{3}{16}$

Bentuk Desimal:

$0.1875$