Kalkulus Contoh

$\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{\sqrt{1 + \cos (x)}} d x$

Langkah 1

Biarkan $u = 1 + \cos (x)$ . Kemudian $d u = - \sin (x) d x$ sehingga $- d u = \sin (x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = 1 + \cos (x)$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $1 + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \cos (x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \cos (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Langkah 1.1.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$0 - \sin (x)$

Langkah 1.1.4

Kurangi $\sin (x)$ dengan $0$ .

$- \sin (x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \cos (\frac{π}{3})$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$u_{lower} = 1 + \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

Langkah 1.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$u_{lower} = \frac{2 + 1}{2}$

Langkah 1.3.4

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Langkah 1.5.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = \frac{3}{2}$

$u_{upper} = 1$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{- 1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{\frac{3}{2}}^{1} - \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Langkah 4

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Langkah 4.2

Pindahkan $u^{\frac{1}{2}}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Langkah 4.3

Kalikan eksponen dalam ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Langkah 4.3.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $- 1$ .

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Langkah 4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \int_{\frac{3}{2}}^{1} u^{- \frac{1}{2}} d u$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{- \frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$- (2 u^{\frac{1}{2}}]_{\frac{3}{2}}^{1})$

Langkah 6

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Evaluasi $2 u^{\frac{1}{2}}$ pada $1$ dan pada $\frac{3}{2}$ .

$- ((2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$- (2 \cdot 1 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 6.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- (2 - 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Terapkan sifat distributif.

$- 1 \cdot 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 - (- 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 7.3

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- 2 + 2 {(\frac{3}{2})}^{\frac{1}{2}}$

Bentuk Desimal:

$0.44948974 \dots$