Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{\frac{π}{8}} 3^{\cos (4 t)} \sin (4 t) d t$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \cos (4 t)$ . Kemudian $d u_{2} = - 4 \sin (4 t) d t$ sehingga $- \frac{1}{4} d u_{2} = \sin (4 t) d t$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \cos (4 t)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\cos (4 t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (4 t)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \cos (t)$ dan $g (t) = 4 t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 t$ .

$- \sin (4 t) \frac{d}{d t} [4 t]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $4 t$ terhadap $t$ adalah $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- \sin (4 t) (4 \frac{d}{d t} [t])$

Langkah 1.1.3.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \frac{d}{d t} [t]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 4 \sin (4 t) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 \sin (4 t)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{lower} = \cos (4 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u_{2} = \cos (4 t)$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{8})$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1.1

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 (2)})$

Langkah 1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$u_{upper} = \cos (4 \frac{π}{4 \cdot 2})$

Langkah 1.5.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{0} 3^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Langkah 2.2

Gabungkan $3^{u_{2}}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{1}^{0} - \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $- 1$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{1}^{0} \frac{3^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Langkah 4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$- (\frac{1}{4} \int_{1}^{0} 3^{u_{2}} d u_{2})$

Langkah 5

Integral dari $3^{u_{2}}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ .

$- \frac{1}{4} \frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}]_{1}^{0}}{4}$

Langkah 7

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\frac{3^{u_{2}}}{\ln (3)}$ pada $0$ dan pada $1$ .

$- \frac{(\frac{3^{0}}{\ln (3)}) - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3^{1}}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2.2

Evaluasi eksponennya.

$- \frac{\frac{1}{\ln (3)} - \frac{3}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$- \frac{\frac{1 - 3}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2.4

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$- \frac{\frac{- 2}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$

Langkah 7.2.6

Tulis kembali $\frac{- \frac{2}{\ln (3)}}{4}$ sebagai hasil kali.

$- (- \frac{2}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 7.2.7

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{2}{\ln (3)}$ .

$- - \frac{2}{4 \ln (3)}$

Langkah 7.2.8

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$- - \frac{2 (1)}{4 \ln (3)}$

Langkah 7.2.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $4 \ln (3)$ .

$- - \frac{2 (1)}{2 (2 \ln (3))}$

Langkah 7.2.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- - \frac{2 \cdot 1}{2 (2 \ln (3))}$

Langkah 7.2.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- - \frac{1}{2 \ln (3)}$

Langkah 7.2.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 \ln (3)}$

Langkah 7.2.10

Kalikan $\frac{1}{2 \ln (3)}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{1}{2 \ln (3)}$

Bentuk Desimal:

$0.45511961 \dots$