Kalkulus Contoh

$e^{5 x} + e^{- x}$

Langkah 1

Tulis $e^{5 x} + e^{- x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{5 x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 5 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $5 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $5 x$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.2

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{5 x} (5 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$e^{5 x} \cdot 5 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.2.5

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $e^{5 x}$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$5 e^{5 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$5 e^{5 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 2.1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$5 e^{5 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 2.1.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 2.1.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $5 e^{5 x} - e^{- x}$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$5 e^{5 x} - e^{- x} = 0$

Langkah 3.2

Pindahkan $- e^{- x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$5 e^{5 x} = e^{- x}$

Langkah 3.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (5 e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tulis kembali $\ln (5 e^{5 x})$ sebagai $\ln (5) + \ln (e^{5 x})$ .

$\ln (5) + \ln (e^{5 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.2

Perluas $\ln (e^{5 x})$ dengan memindahkan $5 x$ ke luar logaritma.

$\ln (5) + 5 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (5) + 5 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.4.4

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$\ln (5) + 5 x = \ln (e^{- x})$

Langkah 3.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (5) + 5 x = - x \ln (e)$

Langkah 3.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x \cdot 1$

Langkah 3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (5) + 5 x = - x$

Langkah 3.6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (5) + 5 x + x = 0$

Langkah 3.6.2

Tambahkan $5 x$ dan $x$ .

$\ln (5) + 6 x = 0$

Langkah 3.7

Kurangkan $\ln (5)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x = - \ln (5)$

Langkah 3.8

Bagi setiap suku pada $6 x = - \ln (5)$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Bagilah setiap suku di $6 x = - \ln (5)$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Langkah 3.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- \ln (5)}{6}$

Langkah 3.8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \ln (5)}{6}$

Langkah 3.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (5)}{6}$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- \frac{\ln (5)}{6}$ .

$- \frac{\ln (5)}{6}$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 5 e^{5 x} - e^{- x}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = e^{5 x} + e^{- x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

$(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6}) \cup (- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.26823965$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{5 (- 1.26823965)} - e^{- (- 1.26823965)}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 e^{- 6.34119826} - e^{- (- 1.26823965)}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1.26823965) = 5 (\frac{1}{e^{6.34119826}}) - e^{- (- 1.26823965)}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{1}{e^{6.34119826}}$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{- (- 1.26823965)}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $- 1.26823965$ .

$f' (- 1.26823965) = \frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$ .

$\frac{5}{e^{6.34119826}} - e^{1.26823965}$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$- 3.54577878$

Langkah 6.4

Pada $x = - 1.26823965$ , turunannya adalah $- 3.54577878$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ .

Menurun pada $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.73176034$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.73176034) = 5 e^{5 (0.73176034)} - e^{- (0.73176034)}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $5$ dengan $0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- (0.73176034)}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.73176034$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - e^{- 0.73176034}$

Langkah 7.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.73176034) = 5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$ .

$5 e^{3.65880173} - \frac{1}{e^{0.73176034}}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$193.59296235$

Langkah 7.4

Pada $x = 0.73176034$ , turunannya adalah $193.59296235$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \frac{\ln (5)}{6}, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, - \frac{\ln (5)}{6})$

Langkah 9