Kalkulus Contoh

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2} - 1}{x} d x$

Langkah 1

Pisahkan pecahan menjadi beberapa pecahan.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} + \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{e} \frac{x^{2}}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x^{1}} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.1.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\int_{1}^{e} \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\int_{1}^{e} \frac{x}{1} d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.1.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} \frac{- 1}{x} d x$

Langkah 3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\int_{1}^{e} x d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{x} d x$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{e} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Evaluasi $\frac{1}{2} x^{2}$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - (\ln (| x |)]_{1}^{e})$

Langkah 7.1.2

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\frac{1}{2} e^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $e^{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.1.3.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.1.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2}}{2} - \frac{1}{2} - ((\ln (| e |)) - \ln (| 1 |))$

Langkah 7.1.3.4

Untuk menuliskan $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7.1.3.5

Gabungkan $- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{2}}{2} + \frac{- (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7.1.3.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{2} - (\ln (| e |) - \ln (| 1 |)) \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 2 (\ln (| e |) - \ln (| 1 |))}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |})}{2} - \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{| e |}{| 1 |}) - 1}{2}$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{| 1 |}) - 1}{2}$

Langkah 7.3.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (\frac{e}{1}) - 1}{2}$

Langkah 7.3.3

Bagilah $e$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \ln (e) - 1}{2}$

Langkah 7.3.4

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 \cdot 1 - 1}{2}$

Langkah 7.3.5

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$\frac{e^{2} - 2 - 1}{2}$

Langkah 7.3.6

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{e^{2} - 3}{2}$

Bentuk Desimal:

$2.19452804 \dots$

Langkah 9