Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{10} \frac{24 t}{2 t + 3} d t$

Langkah 1

Karena $24$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $24$ keluar dari integral.

$24 \int_{0}^{10} \frac{t}{2 t + 3} d t$

Langkah 2

Bagilah $t$ dengan $2 t + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$2 t$

$3$

$t$

$0$

Langkah 2.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $t$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $2 t$ .

					$\frac{1}{2}$
	$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$

Langkah 2.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			+	$t$	+	$\frac{3}{2}$

Langkah 2.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $t + \frac{3}{2}$

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$

Langkah 2.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$\frac{1}{2}$
$2 t$	+	$3$		$t$	+	$0$
			-	$t$	-	$\frac{3}{2}$
					-	$\frac{3}{2}$

Langkah 2.6

Jawaban akhirnya adalah hasil bagi ditambah sisanya per pembagi.

$24 \int_{0}^{10} \frac{1}{2} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$24 (\int_{0}^{10} \frac{1}{2} d t + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$24 (\frac{1}{2} t]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $t$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} + \int_{0}^{10} - \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \frac{3}{2 (2 t + 3)} d t)$

Langkah 7

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $t$ , pindahkan $\frac{3}{2}$ keluar dari integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - (\frac{3}{2} \int_{0}^{10} \frac{1}{2 t + 3} d t))$

Langkah 8

Biarkan $u = 2 t + 3$ . Kemudian $d u = 2 d t$ sehingga $\frac{1}{2} d u = d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Biarkan $u = 2 t + 3$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Diferensialkan $2 t + 3$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 3]$

Langkah 8.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 t + 3$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 8.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.3.1

Karena $2$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $2 t$ terhadap $t$ adalah $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 8.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 8.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [3]$

Langkah 8.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.4.1

Karena $3$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $3$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$2 + 0$

Langkah 8.1.4.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$2$

Langkah 8.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = 2 t + 3$ .

$u_{lower} = 2 \cdot 0 + 3$

Langkah 8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0 + 3$

Langkah 8.3.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$u_{lower} = 3$

Langkah 8.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = 2 t + 3$ .

$u_{upper} = 2 \cdot 10 + 3$

Langkah 8.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.5.1

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$u_{upper} = 20 + 3$

Langkah 8.5.2

Tambahkan $20$ dan $3$ .

$u_{upper} = 23$

Langkah 8.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 23$

Langkah 8.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{u}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u \cdot 2} d u)$

Langkah 9.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $u$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{2 u} d u)$

Langkah 10

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{3}{2}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{2 \cdot 2} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 11.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \int_{3}^{23} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 12

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3}{4} \ln (| u |)]_{3}^{23})$

Langkah 13

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Gabungkan $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ dan $\frac{3}{4}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{\ln (| u |)]_{3}^{23} \cdot 3}{4})$

Langkah 13.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\ln (| u |)]_{3}^{23}$ .

$24 (\frac{t}{2}]_{0}^{10} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Langkah 14

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Evaluasi $\frac{t}{2}$ pada $10$ dan pada $0$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 (\ln (| u |)]_{3}^{23})}{4})$

Langkah 14.2

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $23$ dan pada $3$ .

$24 ((\frac{10}{2}) - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $10$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 (1)} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$24 (\frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$24 (\frac{5}{1} - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.1.2.4

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$24 (5 - \frac{0}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$24 (5 - \frac{2 (0)}{2} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$24 (5 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$24 (5 - \frac{0}{1} - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.2.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$24 (5 - 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$24 (5 + 0 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.4

Tambahkan $5$ dan $0$ .

$24 (5 - \frac{3 ((\ln (| 23 |)) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.5

Untuk menuliskan $5$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$24 (5 \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.6

Gabungkan $5$ dan $\frac{4}{4}$ .

$24 (\frac{5 \cdot 4}{4} - \frac{3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4})$

Langkah 14.3.7

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$24 \frac{5 \cdot 4 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Langkah 14.3.8

Kalikan $5$ dengan $4$ .

$24 \frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$

Langkah 14.3.9

Gabungkan $24$ dan $\frac{20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))}{4}$ .

$\frac{24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{4}$

Langkah 14.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $24$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.10.1

Faktorkan $4$ dari $24 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4}$

Langkah 14.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.3.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 (1)}$

Langkah 14.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 (6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |))))}{4 \cdot 1}$

Langkah 14.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))}{1}$

Langkah 14.3.10.2.4

Bagilah $6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$ dengan $1$ .

$6 (20 - 3 (\ln (| 23 |) - \ln (| 3 |)))$

Langkah 15

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{| 23 |}{| 3 |}))$

Langkah 16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 16.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $23$ adalah $23$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{| 3 |}))$

Langkah 16.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $3$ adalah $3$ .

$6 (20 - 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Langkah 16.3

Terapkan sifat distributif.

$6 \cdot 20 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Langkah 16.4

Kalikan $6$ dengan $20$ .

$120 + 6 (- 3 \ln (\frac{23}{3}))$

Langkah 16.5

Kalikan $- 3$ dengan $6$ .

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Langkah 17

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$120 - 18 \ln (\frac{23}{3})$

Bentuk Desimal:

$83.33612530 \dots$

Langkah 18