Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

Langkah 1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Kemudian $d u = \frac{1}{3} d x$ sehingga $3 d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u = \frac{x}{3}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Langkah 1.1.2

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Langkah 1.1.4

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3}$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.3

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = \frac{x}{3}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

Langkah 1.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Langkah 2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

Langkah 2.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

Langkah 2.3

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $\tan^{2} (u)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

Langkah 3

Karena $3$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

Langkah 4

Menggunakan Identitas Pythagoras, tulis kembali $\tan^{2} (u)$ sebagai $- 1 + \sec^{2} (u)$ .

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

Langkah 5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 6

Terapkan aturan konstanta.

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

Langkah 7

Karena turunan dari $\tan (u)$ adalah $\sec^{2} (u)$ , maka integral dari $\sec^{2} (u)$ adalah $\tan (u)$ .

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 8

Gabungkan $- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ dan $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ .

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $- u + \tan (u)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $0$ .

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $0$ dan $\tan (0)$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Nilai eksak dari $\tan (\frac{π}{3})$ adalah $\sqrt{3}$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

Langkah 10.2

Nilai eksak dari $\tan (0)$ adalah $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

Langkah 10.3

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

Langkah 10.4

Tambahkan $- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ dan $0$ .

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Terapkan sifat distributif.

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

Langkah 11.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{π}{3}$ ke dalam pembilangnya.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

Langkah 11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- π + 3 \sqrt{3}$

Langkah 12

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$- π + 3 \sqrt{3}$

Bentuk Desimal:

$2.05455976 \dots$