Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{8} x e^{- \frac{x}{c}} d x$

Langkah 1

Integralkan bagian demi bagian menggunakan rumus $\int u d v = u v - \int v d u$ , di mana $u = x$ dan $d v = e^{- \frac{x}{c}}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - \int_{0}^{8} - c e^{- \frac{x}{c}} d x$

Langkah 2

Karena $- c$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- c$ keluar dari integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (- c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Langkah 3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + 1 (c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x)$

Langkah 3.2

Kalikan $c$ dengan $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{8} e^{- \frac{x}{c}} d x$

Langkah 4

Biarkan $u = - \frac{x}{c}$ . Kemudian $d u = - \frac{1}{c} d x$ sehingga $- c d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Biarkan $u = - \frac{x}{c}$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan $- \frac{x}{c}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{c}]$

Langkah 4.1.2

Karena $- \frac{1}{c}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{x}{c}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{c} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 4.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- \frac{1}{c} \cdot 1$

Langkah 4.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- \frac{1}{c}$

Langkah 4.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{lower} = - \frac{0}{c}$

Langkah 4.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Bagilah $0$ dengan $c$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 4.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 4.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = - \frac{x}{c}$ .

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Langkah 4.5

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - \frac{8}{c}$

Langkah 4.6

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{c}} d u$

Langkah 5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{c}} d u$

Langkah 5.2

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{1}{c}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} (1 c) d u$

Langkah 5.3

Kalikan $c$ dengan $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} - e^{u} c d u$

Langkah 6

Karena $- c$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- c$ keluar dari integral.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} + c (- c \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u)$

Langkah 7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Naikkan $c$ menjadi pangkat $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Langkah 7.2

Naikkan $c$ menjadi pangkat $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - (c^{1} c^{1}) \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Langkah 7.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{1 + 1} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Langkah 7.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} \int_{0}^{- \frac{8}{c}} e^{u} d u$

Langkah 8

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$x (- c e^{- \frac{x}{c}})]_{0}^{8} - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Langkah 9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Evaluasi $x (- c e^{- \frac{x}{c}})$ pada $8$ dan pada $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} e^{u}]_{0}^{- \frac{8}{c}}$

Langkah 9.2

Evaluasi $e^{u}$ pada $- \frac{8}{c}$ dan pada $0$ .

$(8 (- c e^{- \frac{8}{c}})) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $8$ .

$- 8 (c e^{- \frac{8}{c}}) + 0 (- c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 (c e^{- \frac{0}{c}}) - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3.3

Kalikan $c$ dengan $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 e^{- \frac{0}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3.4

Kalikan $0$ dengan $e^{- \frac{0}{c}}$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} + 0 - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3.5

Tambahkan $- 8 c e^{- \frac{8}{c}}$ dan $0$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} ((e^{- \frac{8}{c}}) - e^{0})$

Langkah 9.3.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1 \cdot 1)$

Langkah 9.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} (e^{- \frac{8}{c}} - 1)$

Langkah 10

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Terapkan sifat distributif.

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} \cdot - 1$

Langkah 10.2

Kalikan $- c^{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + 1 c^{2}$

Langkah 10.2.2

Kalikan $c^{2}$ dengan $1$ .

$- 8 c e^{- \frac{8}{c}} - c^{2} e^{- \frac{8}{c}} + c^{2}$

Langkah 11