Kalkulus Contoh

$\int_{0}^{π} (\sin^{6} (4 x)) \cos (4 x) d x$

Langkah 1

Biarkan $u_{2} = \sin (4 x)$ . Kemudian $d u_{2} = 4 \cos (4 x) d x$ sehingga $\frac{1}{4} d u_{2} = \cos (4 x) d x$ . Tulis kembali menggunakan $u_{2}$ dan $d$ $u_{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Biarkan $u_{2} = \sin (4 x)$ . Tentukan $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan $\sin (4 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $4 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\sin (u_{1})$ terhadap $u_{1}$ adalah $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4$

Langkah 1.1.3.3.2

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x)$

Langkah 1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{lower} = \sin (4 \cdot 0)$

Langkah 1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$u_{lower} = \sin (0)$

Langkah 1.3.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u_{2} = \sin (4 x)$ .

$u_{upper} = \sin (4 π)$

Langkah 1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$u_{upper} = \sin (0)$

Langkah 1.5.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 0$

Langkah 1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u_{2}$ , $d u_{2}$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} \frac{1}{4} d u_{2}$

Langkah 2

Gabungkan ${u_{2}}^{6}$ dan $\frac{1}{4}$ .

$\int_{0}^{0} \frac{{u_{2}}^{6}}{4} d u_{2}$

Langkah 3

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $u_{2}$ , pindahkan $\frac{1}{4}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{4} \int_{0}^{0} {u_{2}}^{6} d u_{2}$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari ${u_{2}}^{6}$ terhadap $u_{2}$ adalah $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ .

$\frac{1}{4} \frac{1}{7} {u_{2}}^{7}]_{0}^{0}$

Langkah 5

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Evaluasi $\frac{1}{7} {u_{2}}^{7}$ pada $0$ dan pada $0$ .

$\frac{1}{4} ((\frac{1}{7} \cdot 0^{7}) - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{4} (\frac{1}{7} \cdot 0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 5.2.2

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0^{7})$

Langkah 5.2.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1}{4} (0 - \frac{1}{7} \cdot 0)$

Langkah 5.2.4

Kalikan $0$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0 (\frac{1}{7}))$

Langkah 5.2.5

Kalikan $0$ dengan $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{4} (0 + 0)$

Langkah 5.2.6

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot 0$

Langkah 5.2.7

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $0$ .

$0$