Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ , $[0, 4]$

Langkah 1

Periksa apakah $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[0, 4]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3} \sqrt{x^{3}} + 1$

Langkah 1.1.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x^{3}}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x^{3} \geq 0$

Langkah 1.1.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi pertidaksamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$\sqrt[3]{x^{3}} \geq \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.1.3.2

Sederhanakan persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1.1

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x \geq \sqrt[3]{0}$

Langkah 1.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x \geq \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 1.1.3.2.2.1.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x \geq 0$

Langkah 1.1.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 1.2

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ terdiferensiasi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.7

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.8

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.9

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2.12

Bagilah $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Langkah 2.1.1.3.2

Tambahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 2.2

Tentukan apakah turunannya kontinu di $[0, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[0, 4]$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt{x^{1}}$

Langkah 2.2.1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\sqrt{x}$

Langkah 2.2.1.2

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x \geq 0$

Langkah 2.2.1.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Notasi Interval:

$[0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq 0}$

Langkah 2.2.2

$f' (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 2.3

Fungsinya terdiferensialkan pada $[0, 4]$ karena turunannya kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 3

Agar panjang busur yang terjamin, fungsi dan turunannya harus kontinu pada interval tertutup $[0, 4]$ .

Fungsi dan turunannya kontinu pada interval tertutup $[0, 4]$ .

Langkah 4

Tentukan turunan dari $f (x) = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Karena $\frac{2}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.6.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.7

Gabungkan $\frac{3}{2}$ dan $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.8

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2 (3 x^{\frac{1}{2}})}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.9

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{3 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.10

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.11

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.2.12

Bagilah $x^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 4.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{\frac{1}{2}} + 0$

Langkah 4.3.2

Tambahkan $x^{\frac{1}{2}}$ dan $0$ .

$x^{\frac{1}{2}}$

Langkah 5

Untuk menghitung panjang busur fungsi, gunakan rumus $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{4} \sqrt{1 + {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}} d x$

Langkah 6

Evaluasi integralnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Biarkan $u = 1 + x$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1.1

Diferensialkan $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Langkah 6.1.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.1.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 6.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$0 + 1$

Langkah 6.1.1.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$1$

Langkah 6.1.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Langkah 6.1.3

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$u_{lower} = 1$

Langkah 6.1.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = 1 + x$ .

$u_{upper} = 1 + 4$

Langkah 6.1.5

Tambahkan $1$ dan $4$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 6.1.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Langkah 6.1.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$\int_{1}^{5} \sqrt{u} d u$

Langkah 6.2

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{u}$ sebagai $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{5} u^{\frac{1}{2}} d u$

Langkah 6.3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $u^{\frac{1}{2}}$ terhadap $u$ adalah $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{5}$

Langkah 6.4

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Evaluasi $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ pada $5$ dan pada $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 5^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.2.1

Gabungkan $\frac{2}{3}$ dan $5^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Langkah 6.4.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Langkah 6.4.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Langkah 7

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$\frac{2 \cdot 5^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Bentuk Desimal:

$6.78689325 \dots$

Langkah 8