Kalkulus Contoh

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Tulis $y = x^{2} - 3 x + 1$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

Langkah 2

Tentukan turunan dari $f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 3 x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 x - 3 + 0$

Langkah 2.1.3.2

Tambahkan $2 x - 3$ dan $0$ .

$f' (x) = 2 x - 3$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x - 3$ .

$2 x - 3$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

$f' (x)$ kontinu di $[0, 2]$ .

$f' (x)$ kontinu

Langkah 5

Nilai rerata dari fungsi $f'$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

Langkah 7

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Langkah 8

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Langkah 10

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

Langkah 11

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Langkah 12

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

Langkah 12.2

Evaluasi $- 3 x$ pada $2$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.2.2.4

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.4.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.3.4.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.6

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.7

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.8

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

Langkah 12.3.9

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

Langkah 12.3.10

Tambahkan $- 6$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

Langkah 12.3.11

Kurangi $6$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

Langkah 13

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

Langkah 13.2

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

Langkah 14

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

Langkah 14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

Langkah 14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = - 1$

Langkah 15