Kalkulus Contoh

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{3}{x - 2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

Langkah 2

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[4, 7]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{3}{x - 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x - 2 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 2}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 2}$

Langkah 3

$f (x)$ kontinu di $[4, 7]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

Langkah 6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

Langkah 7

Biarkan $u = x - 2$ . Kemudian $d u = d x$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Biarkan $u = x - 2$ . Tentukan $\frac{d u}{d x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Diferensialkan $x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

Langkah 7.1.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 7.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 7.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$1 + 0$

Langkah 7.1.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$1$

Langkah 7.2

Substitusikan batas bawah untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{lower} = 4 - 2$

Langkah 7.3

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$u_{lower} = 2$

Langkah 7.4

Substitusikan batas atas untuk $x$ di $u = x - 2$ .

$u_{upper} = 7 - 2$

Langkah 7.5

Kurangi $2$ dengan $7$ .

$u_{upper} = 5$

Langkah 7.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

Langkah 7.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Langkah 8

Integral dari $\frac{1}{u}$ terhadap $u$ adalah $\ln (| u |)$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

Langkah 9

Evaluasi $\ln (| u |)$ pada $5$ dan pada $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

Langkah 10

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $5$ adalah $5$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

Langkah 11.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Langkah 12

Kurangi $4$ dengan $7$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $3$ dari $3 \ln (\frac{5}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

Langkah 14