Kalkulus Contoh

$2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 2 ((x + h) (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.2

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 (x (x + h) + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.3.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.3.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.3.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.5

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 (h x) + 2 h^{2} + 3 (x + h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + (3 x + 3 h) \cdot y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 (x + h) + 2 y$

Langkah 2.1.2.1.8

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 x - 5 h + 2 y$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $- 5 x$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 x y + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $3 x y$ .

$2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $2 x^{2}$ .

$4 h x + 2 h^{2} + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Langkah 2.2.4

Susun kembali $4 h x$ dan $2 h^{2}$ .

$2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

$f (x + h) = 2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y$

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 x + 2 y)}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - (2 x^{2}) - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - (3 x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - (4 y^{2}) - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} - (- 5 x) - (2 y)}{h}$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - (2 y)}{h}$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 2 x^{2} - 3 (x y) - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $2 h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 3 x y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 3 x y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.5

Kurangi $3 x y$ dengan $3 x y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y + 0 - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.6

Tambahkan $2 h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y + 4 y^{2} - 5 h - 5 x + 2 y - 4 y^{2} + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.7

Kurangi $4 y^{2}$ dengan $4 y^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 0 + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.8

Tambahkan $2 h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h - 5 x + 2 y + 5 x - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.9

Tambahkan $- 5 x$ dan $5 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y + 0 - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.10

Tambahkan $2 h^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 2 y - 2 y}{h}$

Langkah 4.1.11

Kurangi $2 y$ dengan $2 y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h + 0}{h}$

Langkah 4.1.12

Tambahkan $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Langkah 4.1.13

Faktorkan $h$ dari $2 h^{2} + 4 h x + 3 h y - 5 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.13.1

Faktorkan $h$ dari $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + 4 h x + 3 h y - 5 h}{h}$

Langkah 4.1.13.2

Faktorkan $h$ dari $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + 3 h y - 5 h}{h}$

Langkah 4.1.13.3

Faktorkan $h$ dari $3 h y$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) - 5 h}{h}$

Langkah 4.1.13.4

Faktorkan $h$ dari $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h) + h (4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Langkah 4.1.13.5

Faktorkan $h$ dari $h (2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x) + h (3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Langkah 4.1.13.6

Faktorkan $h$ dari $h (2 h + 4 x) + h (3 y)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5}{h}$

Langkah 4.1.13.7

Faktorkan $h$ dari $h (2 h + 4 x + 3 y) + h \cdot - 5$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Langkah 4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 h + 4 x + 3 y - 5)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $2 h + 4 x + 3 y - 5$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 2 h + 4 x + 3 y - 5$

Langkah 4.2.2

Pindahkan $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 x + 3 y + 2 h - 5$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 5.2

Evaluasi limit dari $4 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$4 x + lim_{h \to 0} 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari $3 y$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$4 x + 3 y + lim_{h \to 0} 2 h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 5.4

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 5$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $5$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$4 x + 3 y + 2 lim_{h \to 0} h - 1 \cdot 5$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$4 x + 3 y + 2 \cdot 0 - 1 \cdot 5$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 1 \cdot 5$

Langkah 7.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $5$ .

$4 x + 3 y + 0 - 5$

Langkah 7.2

Tambahkan $4 x + 3 y$ dan $0$ .

$4 x + 3 y - 5$

Langkah 8