Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.4

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 {(x + h)}^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.5

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 ((x + h) (x + h)) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.6

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.7.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.7.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.7.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.7.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.7.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.8

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 2 (2 h x) + 2 h^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.2.9

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + x + h - 1$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 x^{2} + 4 h x + 2 h^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $2 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 h x + 2 h^{2} + 2 x^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $4 h x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.2.7

Pindahkan $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.2.8

Susun kembali $12 h^{2} x$ dan $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1$

$f (x) = 4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3} + 2 x^{2} + x - 1)}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - (4 x^{3}) - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - (2 x^{2}) - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 4 x^{3} - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $4 x^{3}$ dengan $4 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 + 0 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $4 h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + 2 x^{2} + h + x - 1 - 2 x^{2} - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.5

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 + 0 - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.6

Tambahkan $4 h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + x - 1 - x + 1}{h}$

Langkah 4.1.7

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0 - 1 + 1}{h}$

Langkah 4.1.8

Tambahkan $4 h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h - 1 + 1}{h}$

Langkah 4.1.9

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h + 0}{h}$

Langkah 4.1.10

Tambahkan $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Langkah 4.1.11

Faktorkan $h$ dari $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.11.1

Faktorkan $h$ dari $4 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Langkah 4.1.11.2

Faktorkan $h$ dari $12 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + 12 h x^{2} + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Langkah 4.1.11.3

Faktorkan $h$ dari $12 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + 2 h^{2} + 4 h x + h}{h}$

Langkah 4.1.11.4

Faktorkan $h$ dari $2 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + 4 h x + h}{h}$

Langkah 4.1.11.5

Faktorkan $h$ dari $4 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Langkah 4.1.11.6

Naikkan $h$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h}{h}$

Langkah 4.1.11.7

Faktorkan $h$ dari $h^{1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2}) + h (12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 4.1.11.8

Faktorkan $h$ dari $h (4 h^{2}) + h (12 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 4.1.11.9

Faktorkan $h$ dari $h (4 h^{2} + 12 h x) + h (12 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 4.1.11.10

Faktorkan $h$ dari $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2}) + h (2 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 4.1.11.11

Faktorkan $h$ dari $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h) + h (4 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1}{h}$

Langkah 4.1.11.12

Faktorkan $h$ dari $h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x) + h \cdot 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Langkah 4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 h x + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 2 h + 4 x + 1$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Langkah 4.2.2.3

Pindahkan $4 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Langkah 4.2.2.4

Susun kembali $12 x h$ dan $12 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2} + 4 x + 2 h + 1$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $12 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$12 x^{2} + lim_{h \to 0} 12 x h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 7

Pindahkan suku $12 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 4 h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 8

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 9

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 10

Evaluasi limit dari $4 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 11

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1$

Langkah 12

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$12 x^{2} + 12 x lim_{h \to 0} h + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1$

Langkah 13.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$12 x^{2} + 12 x \cdot 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Kalikan $12 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $12$ .

$12 x^{2} + 0 x + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 14.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0^{2} + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 14.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 \cdot 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 14.1.3

Kalikan $4$ dengan $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 2 \cdot 0 + 1$

Langkah 14.1.4

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$

Langkah 14.2

Gabungkan suku balikan dalam $12 x^{2} + 0 + 0 + 4 x + 0 + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Tambahkan $12 x^{2}$ dan $0$ .

$12 x^{2} + 0 + 4 x + 0 + 1$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $12 x^{2}$ dan $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 0 + 1$

Langkah 14.2.3

Tambahkan $12 x^{2} + 4 x$ dan $0$ .

$12 x^{2} + 4 x + 1$

Langkah 15