Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 {(x + h)}^{2} + 6$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 ((x + h) (x + h)) + 6$

Langkah 2.1.2.1.3

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x (x + h) + h (x + h)) + 6$

Langkah 2.1.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 6$

Langkah 2.1.2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Langkah 2.1.2.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 6$

Langkah 2.1.2.1.4.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 6$

Langkah 2.1.2.1.4.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 6$

Langkah 2.1.2.1.4.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 6$

Langkah 2.1.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 5 (2 h x) - 5 h^{2} + 6$

Langkah 2.1.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 5$ .

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$ .

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 x^{2} - 10 h x - 5 h^{2} + 6$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $- 5 x^{2}$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 10 h x - 5 h^{2} - 5 x^{2} + 6$

Langkah 2.2.4

Pindahkan $- 10 h x$ .

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Langkah 2.2.5

Pindahkan $x^{3}$ .

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $3 h x^{2}$ .

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Langkah 2.2.7

Susun kembali $3 h^{2} x$ dan $h^{3}$ .

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6$

$f (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 6$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - (x^{3} - 5 x^{2} + 6)}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} - (- 5 x^{2}) - 1 \cdot 6}{h}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 1 \cdot 6}{h}$

Langkah 4.1.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 - x^{3} + 5 x^{2} - 6}{h}$

Langkah 4.1.3

Kurangi $x^{3}$ dengan $x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 0 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x - 5 x^{2} + 6 + 5 x^{2} - 6}{h}$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $- 5 x^{2}$ dan $5 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0 + 6 - 6}{h}$

Langkah 4.1.6

Tambahkan $h^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 6 - 6}{h}$

Langkah 4.1.7

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x + 0}{h}$

Langkah 4.1.8

Tambahkan $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Langkah 4.1.9

Faktorkan $h$ dari $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.9.1

Faktorkan $h$ dari $h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Langkah 4.1.9.2

Faktorkan $h$ dari $3 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Langkah 4.1.9.3

Faktorkan $h$ dari $3 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 5 h^{2} - 10 h x}{h}$

Langkah 4.1.9.4

Faktorkan $h$ dari $- 5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) - 10 h x}{h}$

Langkah 4.1.9.5

Faktorkan $h$ dari $- 10 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Langkah 4.1.9.6

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2}) + h (3 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Langkah 4.1.9.7

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Langkah 4.1.9.8

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 5 h)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)}{h}$

Langkah 4.1.9.9

Faktorkan $h$ dari $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h) + h (- 10 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Langkah 4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Pindahkan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 5 h - 10 x$

Langkah 4.2.2.2

Pindahkan $- 5 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 10 x - 5 h$

Langkah 4.2.2.3

Pindahkan $h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 10 x - 5 h$

Langkah 4.2.2.4

Susun kembali $3 x h$ dan $3 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 10 x - 5 h$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$lim_{h \to 0} 3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $3 x^{2}$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 x^{2} + lim_{h \to 0} 3 x h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Langkah 7

Pindahkan suku $3 x$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Langkah 8

Pindahkan pangkat $2$ dari $h^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $10 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - lim_{h \to 0} 5 h$

Langkah 10

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$3 x^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Langkah 11

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Langkah 11.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 lim_{h \to 0} h$

Langkah 11.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$3 x^{2} + 3 x \cdot 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Langkah 12

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1

Kalikan $3 x \cdot 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1.1.1

Kalikan $0$ dengan $3$ .

$3 x^{2} + 0 x + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Langkah 12.1.1.2

Kalikan $0$ dengan $x$ .

$3 x^{2} + 0 + 0^{2} - 10 x - 5 \cdot 0$

Langkah 12.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x - 5 \cdot 0$

Langkah 12.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $0$ .

$3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$

Langkah 12.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 x^{2} + 0 + 0 - 10 x + 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2} + 0 - 10 x + 0$

Langkah 12.2.2

Tambahkan $3 x^{2}$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 10 x + 0$

Langkah 12.2.3

Tambahkan $3 x^{2} - 10 x$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 10 x$

Langkah 13