Kalkulus Contoh

$y = 8 x - x^{2}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = 8 (x + h) - {(x + h)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - {(x + h)}^{2}$

Langkah 2.1.2.1.2

Tulis kembali ${(x + h)}^{2}$ sebagai $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - ((x + h) (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3

Perluas $(x + h) (x + h)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x (x + h) + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

Langkah 2.1.2.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.1.4

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

Langkah 2.1.2.1.4.1.2

Kalikan $h$ dengan $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.4.2

Tambahkan $x h$ dan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.4.2.1

Susun kembali $x$ dan $h$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.4.2.2

Tambahkan $h x$ dan $h x$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

Langkah 2.1.2.1.5

Terapkan sifat distributif.

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

Langkah 2.1.2.1.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f (x + h) = 8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ .

$8 x + 8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

Langkah 2.2

Susun kembali.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Pindahkan $8 x$ .

$8 h - x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 x$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $8 h$ .

$- x^{2} - 2 h x - h^{2} + 8 h + 8 x$

Langkah 2.2.3

Pindahkan $- x^{2}$ .

$- 2 h x - h^{2} - x^{2} + 8 h + 8 x$

Langkah 2.2.4

Susun kembali $- 2 h x$ dan $- h^{2}$ .

$- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

Langkah 2.3

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

$f (x + h) = - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x$

$f (x) = 8 x - x^{2}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x - x^{2})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - (8 x) + x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.2

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.3

Kalikan $- - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + 1 x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.3.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x - x^{2} + 8 h + 8 x - 8 x + x^{2}}{h}$

Langkah 4.1.4

Tambahkan $- x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x + 0}{h}$

Langkah 4.1.5

Tambahkan $- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 8 x - 8 x}{h}$

Langkah 4.1.6

Kurangi $8 x$ dengan $8 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h + 0}{h}$

Langkah 4.1.7

Tambahkan $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- h^{2} - 2 h x + 8 h}{h}$

Langkah 4.1.8

Faktorkan $h$ dari $- h^{2} - 2 h x + 8 h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.8.1

Faktorkan $h$ dari $- h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) - 2 h x + 8 h}{h}$

Langkah 4.1.8.2

Faktorkan $h$ dari $- 2 h x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + 8 h}{h}$

Langkah 4.1.8.3

Faktorkan $h$ dari $8 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h) + h (- 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Langkah 4.1.8.4

Faktorkan $h$ dari $h (- h) + h (- 2 x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x) + h \cdot 8}{h}$

Langkah 4.1.8.5

Faktorkan $h$ dari $h (- h - 2 x) + h \cdot 8$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Langkah 4.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- h - 2 x + 8)}{h}$

Langkah 4.2.1.2

Bagilah $- h - 2 x + 8$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - h - 2 x + 8$

Langkah 4.2.2

Susun kembali $- h$ dan $- 2 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} - 2 x - h + 8$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$- lim_{h \to 0} 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Langkah 6

Evaluasi limit dari $2 x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 8$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $8$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$- 2 x - lim_{h \to 0} h + 8$

Langkah 8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$- 2 x + 0 + 8$

Langkah 8.2

Tambahkan $- 2 x$ dan $0$ .

$- 2 x + 8$

Langkah 9