Kalkulus Contoh

$y = \sin (x)$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

Langkah 2.1.2

Jawaban akhirnya adalah $\sin (x + h)$ .

$\sin (x + h)$

Langkah 2.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

$f (x + h) = \sin (x + h)$

$f (x) = \sin (x)$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h}$

Langkah 4

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - (\sin (x))}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{h \to 0} \sin (x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.1.2

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena sinus kontinu.

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.1.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{\sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.1.4

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.1.5

Evaluasi limit dari $\sin (x)$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{\sin (x + lim_{h \to 0} h) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\sin (x + 0) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.3

Gabungkan suku balikan dalam $\sin (x + 0) - \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{\sin (x) - \sin (x)}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.2.3.2

Kurangi $\sin (x)$ dengan $\sin (x)$ .

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

Langkah 4.1.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 4.2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{h \to 0} \frac{\sin (x + h) - (\sin (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h) - (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\sin (x + h) - (\sin (x))$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sin (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3

Evaluasi $\frac{d}{d h} [\sin (x + h)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ adalah $f' (g (h)) g' (h)$ di mana $f (h) = \sin (h)$ dan $g (h) = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.1.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + h$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + h$ terhadap $h$ adalah $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.3

Karena $x$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $x$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.5

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.3.6

Kalikan $\cos (x + h)$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\sin (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.4

Karena $- \sin (x)$ konstan terhadap $h$ , turunan dari $- \sin (x)$ terhadap $h$ adalah $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.5

Tambahkan $\cos (x + h)$ dan $0$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

Langkah 4.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ adalah $n h^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h)}{1}$

Langkah 4.4

Bagilah $\cos (x + h)$ dengan $1$ .

$lim_{h \to 0} \cos (x + h)$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan batas di dalam fungsi trigonometri karena kosinus kontinu.

$\cos (lim_{h \to 0} x + h)$

Langkah 5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\cos (x + lim_{h \to 0} h)$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\cos (x + 0)$

Langkah 7

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\cos (x)$

Langkah 8