Kalkulus Contoh

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 1

Mempertimbangkan definisi batas turunannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Langkah 2

Tentukan komponen dari definisinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi fungsi pada $x = x + h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $x + h$ pada pernyataan tersebut.

$f (x + h) = \frac{(x + h) - 1}{(x + h) + 1}$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Langkah 2.1.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ .

$\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

Langkah 2.2

Tentukan komponen dari definisinya.

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$f (x + h) = \frac{x + h - 1}{x + h + 1}$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Langkah 3

Masukkan komponen.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} - (\frac{x - 1}{x + 1})}{h}$

Langkah 4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Untuk menuliskan $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1}}{h}$

Langkah 4.1.2

Untuk menuliskan $- \frac{x - 1}{x + 1}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + h - 1}{x + h + 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 4.1.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $(x + h + 1) (x + 1)$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Kalikan $\frac{x + h - 1}{x + h + 1}$ dengan $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x + h + 1}{x + h + 1}}{h}$

Langkah 4.1.3.2

Kalikan $\frac{x - 1}{x + 1}$ dengan $\frac{x + h + 1}{x + h + 1}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + h + 1) (x + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.3.3

Susun kembali faktor-faktor dari $(x + h + 1) (x + 1)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)} - \frac{(x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5

Tulis kembali $\frac{(x + h - 1) (x + 1) - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.1

Perluas $(x + h - 1) (x + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2

Gabungkan suku balikan dalam $x \cdot x + x \cdot 1 + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.2.1

Susun kembali faktor-faktor dalam suku-suku $x \cdot 1$ dan $- 1 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + 1 x + h x + h \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2.2

Kurangi $1 x$ dengan $1 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 + 0 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.2.3

Tambahkan $x \cdot x + h x + h \cdot 1$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x \cdot x + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.3.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.3.2

Kalikan $h$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 \cdot 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x - 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.4

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 + (- x + 1) (x + h + 1)}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.6

Perluas $(- x + 1) (x + h + 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x \cdot x - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.7.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.7.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - (x \cdot x) - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x \cdot 1 + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + 1 x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + 1 h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7.4

Kalikan $h$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1 \cdot 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.7.5

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h - x + x + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.8

Gabungkan suku balikan dalam $- x^{2} - x h - x + x + h + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.8.1

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.8.2

Tambahkan $- x^{2} - x h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^{2} + h x + h - 1 - x^{2} - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.9

Kurangi $x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 + 0 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.10

Tambahkan $h x$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h x + h - 1 - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.11

Kurangi $x h$ dengan $h x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.5.11.1

Susun kembali $h$ dan $x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + x h - x h + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.11.2

Kurangi $x h$ dengan $x h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + 0 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.12

Tambahkan $h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h - 1 + h + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.13

Tambahkan $h$ dan $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h - 1 + 1}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.14

Tambahkan $- 1$ dan $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h + 0}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.1.5.15

Tambahkan $2 h$ dan $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)}}{h}$

Langkah 4.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 h}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3

Batalkan faktor persekutuan dari $h$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Faktorkan $h$ dari $2 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 2}{(x + 1) (x + h + 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Langkah 4.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2}{(x + 1) (x + h + 1)}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Pindahkan suku $\frac{2}{x + 1}$ ke luar limit karena konstan terhadap $h$ .

$\frac{2}{x + 1} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 1}$

Langkah 5.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 5.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 1}$

Langkah 5.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $h$ mendekati $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.5

Evaluasi limit dari $x$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1}$

Langkah 5.6

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 1}$

Langkah 6

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 0 + 1}$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Tambahkan $x$ dan $0$ .

$\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Langkah 7.2

Kalikan $\frac{2}{x + 1} \cdot \frac{1}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $\frac{2}{x + 1}$ dengan $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{2}{(x + 1) (x + 1)}$

Langkah 7.2.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} (x + 1)}$

Langkah 7.2.3

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}}$

Langkah 7.2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{1 + 1}}$

Langkah 7.2.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 8