Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{9 - x^{2}}$ sebagai ${(9 - x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(9 - x^{2})}^{- 1})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 9 - x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = - u^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Langkah 1.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $9 - x^{2}$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (9 - x^{2})$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $9 - x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Langkah 1.1.1.3.2

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))$

Langkah 1.1.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = - {(9 - x^{2})}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 1 {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Kalikan ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ dengan $1$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.1.3.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = {(9 - x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Langkah 1.1.1.3.7

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(9 - x^{2})}^{- 2}$ .

$f' (x) = 2 \cdot ({(9 - x^{2})}^{- 2} x)$

Langkah 1.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}) \cdot x$

Langkah 1.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}} \cdot x$

Langkah 1.1.1.5.1.2

Gabungkan $\frac{2}{{(9 - x^{2})}^{2}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{{(9 - x^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(- x^{2} + 9)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(- x^{2} + 9)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{2 \cdot 2}})$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 9)}^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = - x^{2} + 9$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x^{2} + 9$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - x (2 (- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5.2

Faktorkan $- x^{2} + 9$ dari ${(- x^{2} + 9)}^{2} - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.2.1

Faktorkan $- x^{2} + 9$ dari ${(- x^{2} + 9)}^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) - 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5.2.2

Faktorkan $- x^{2} + 9$ dari $- 2 x ((- x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 9])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5.2.3

Faktorkan $- x^{2} + 9$ dari $(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9) + (- x^{2} + 9) (- 2 x (\frac{d}{d x} [- x^{2} + 9]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{{(- x^{2} + 9)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Faktorkan $- x^{2} + 9$ dari ${(- x^{2} + 9)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 9) (- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9)))}{(- x^{2} + 9) {(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2} + 9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x^{2} + 9$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.8

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- (2 x) + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.10

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + \frac{d}{d x} (9))}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.11

Karena $9$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $9$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x + 0)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.12.1

Tambahkan $- 2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 - 2 x (- 2 x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.12.2

Kalikan $- 2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x \cdot x}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.13

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.14

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 (x \cdot x)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.15

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{1 + 1}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.16

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 9 + 4 x^{2}}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.17

Tambahkan $- x^{2}$ dan $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.18

Gabungkan $2$ dan $\frac{3 x^{2} + 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2} + 9)}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (3 x^{2}) + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.19.2.1

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 2 \cdot 9}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.19.2.2

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$f'' (x) = \frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{6 x^{2} + 18}{{(- x^{2} + 9)}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 x^{2} + 18 = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kurangkan $18$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x^{2} = - 18$

Langkah 1.2.3.2

Bagi setiap suku pada $6 x^{2} = - 18$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $6 x^{2} = - 18$ dengan $6$ .

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{- 18}{6}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 18}{6}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Bagilah $- 18$ dengan $6$ .

$x^{2} = - 3$

Langkah 1.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Langkah 1.2.3.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.4.1

Tulis kembali $- 3$ sebagai $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Langkah 1.2.3.4.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (3)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.4.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{9 - x^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{9 - x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$9 - x^{2} = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangkan $9$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{2} = - 9$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 9$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 9$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 2.2.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Langkah 2.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Bagilah $- 9$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Langkah 2.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{9}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Langkah 2.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 3$

Langkah 2.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 3$

Langkah 2.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 3$

Langkah 2.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 3, - 3$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 3, - 3}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 3, - 3}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6) = \frac{6 {(- 6)}^{2} + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{6 \cdot 36 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{216 + 18}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.3

Tambahkan $216$ dan $18$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- {(- 6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Langkah 4.2.2.3

Tambahkan $- 36$ dan $9$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Langkah 4.2.2.4

Naikkan $- 27$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 6) = \frac{234}{- 19683}$

Langkah 4.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $234$ dan $- 19683$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.1

Faktorkan $9$ dari $234$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Langkah 4.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.3.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 19683$ .

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Langkah 4.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Langkah 4.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 6) = \frac{26}{- 2187}$

Langkah 4.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 6) = - \frac{26}{2187}$

Langkah 4.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - 3)$ karena $f'' (- 6)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 3)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 3, 3)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{6 {(0)}^{2} + 18}{{(- {(0)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{6 \cdot 0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $18$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(- 0 + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{18}{{(0 + 9)}^{3}}$

Langkah 5.2.2.3

Tambahkan $0$ dan $9$ .

$f'' (0) = \frac{18}{9^{3}}$

Langkah 5.2.2.4

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = \frac{18}{729}$

Langkah 5.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $18$ dan $729$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Faktorkan $9$ dari $18$ .

$f'' (0) = \frac{9 (2)}{729}$

Langkah 5.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.2.1

Faktorkan $9$ dari $729$ .

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Langkah 5.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{9 \cdot 2}{9 \cdot 81}$

Langkah 5.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{2}{81}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{81}$ .

$\frac{2}{81}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- 3, 3)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- 3, 3)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6) = \frac{6 {(6)}^{2} + 18}{{(- {(6)}^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $6$ dengan $6^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1

Kalikan $6$ dengan $6^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1.1.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (6) = \frac{6 \cdot 6^{2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (6) = \frac{6^{1 + 2} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.1.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f'' (6) = \frac{6^{3} + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (6) = \frac{216 + 18}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.3

Tambahkan $216$ dan $18$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 6^{2} + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $6$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 1 \cdot 36 + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $36$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 36 + 9)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.3

Tambahkan $- 36$ dan $9$ .

$f'' (6) = \frac{234}{{(- 27)}^{3}}$

Langkah 6.2.2.4

Naikkan $- 27$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (6) = \frac{234}{- 19683}$

Langkah 6.2.3

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $234$ dan $- 19683$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.1

Faktorkan $9$ dari $234$ .

$f'' (6) = \frac{9 (26)}{- 19683}$

Langkah 6.2.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1.2.1

Faktorkan $9$ dari $- 19683$ .

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Langkah 6.2.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (6) = \frac{9 \cdot 26}{9 \cdot - 2187}$

Langkah 6.2.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (6) = \frac{26}{- 2187}$

Langkah 6.2.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (6) = - \frac{26}{2187}$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{26}{2187}$ .

$- \frac{26}{2187}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(3, \infty)$ karena $f'' (6)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(3, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - 3)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- 3, 3)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(3, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8