Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - 1$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $2 x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.10.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.1.4

Kalikan $- 2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.2

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $4 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2} - 2 x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.3

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.4

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.5

Faktorkan $2$ dari $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Langkah 1.1.2.2

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

Langkah 1.1.2.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.7

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.3.8

Tambahkan $2 x - 1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan ${(2 x - 1)}^{2}$ dengan $2 x - 1$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Kalikan ${(2 x - 1)}^{2}$ dengan $2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1.1

Naikkan $2 x - 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.4.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = 2 x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.5.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x - 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.6

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.6.2

Faktorkan $2 x - 1$ dari ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.2.1

Faktorkan $2 x - 1$ dari ${(2 x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.6.2.2

Faktorkan $2 x - 1$ dari $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.6.2.3

Faktorkan $2 x - 1$ dari $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.1.2.7

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.7.1

Faktorkan $2 x - 1$ dari ${(2 x - 1)}^{4}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.7.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.9

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.11

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.12

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.13

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.13.1

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.13.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Langkah 1.1.2.13.3

Gabungkan $2$ dan $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.1

Tulis kembali ${(2 x - 1)}^{2}$ sebagai $(2 x - 1) (2 x - 1)$ .

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.2

Perluas $(2 x - 1) (2 x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.3.2

Kurangi $2 x$ dengan $- 2 x$ .

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.5.1

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.5.2

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.5.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.6

Kalikan $- 4$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.8

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.9

Kalikan $2 (- 4 \cdot 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.1.9.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.1.9.2

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.14.3.2.1

Kurangi $8 x^{2}$ dengan $8 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.2.2

Tambahkan $- 8 x + 2$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.2.3

Tambahkan $- 8 x$ dan $8 x$ .

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.2.4

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.3.3

Kurangi $8$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.14.4

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$6 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $6 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$2 x - 1 = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$2 x = 1$

Langkah 2.2.2

Bagi setiap suku pada $2 x = 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Langkah 2.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah $6$ dengan $- 1$ .

$f'' (0) = 6$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 6$ .

$f'' (0) = 6$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $6$ .

$6$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Kurangi $1$ dengan $6$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

Langkah 5.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{6}{125}$ .

$- \frac{6}{125}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (3)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \frac{1}{2})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(\frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7