Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{4}}$ sebagai ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.1.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

Langkah 1.1.1.1.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 4$ .

$- 4 x^{- 5}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{4}{x^{5}}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{5}}$ sebagai ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

Langkah 1.1.2.2.2.2

Kalikan $5$ dengan $- 1$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 5$ .

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $- 5$ dengan $- 4$ .

$20 x^{- 6}$

Langkah 1.1.2.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{x^{6}}$

Langkah 1.1.2.5.2

Gabungkan $20$ dan $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{20}{x^{6}}$ .

$\frac{20}{x^{6}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{20}{x^{6}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$20 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $20 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{4}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{4} = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Langkah 2.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $6$ .

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

Langkah 4.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $64$ .

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Langkah 4.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Langkah 4.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, 0)$ karena $f'' (- 2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $20$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $20$ .

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $64$ .

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{16}$ .

$\frac{5}{16}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7