Kalkulus Contoh

$y = x + \cos (2 x)$

Langkah 1

Tulis $y = x + \cos (2 x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x + \cos (2 x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \cos (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.2.1.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

Langkah 2.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 2 \sin (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 2.2.2.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 2.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 2.2.2.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 2.2.2.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 2.2.2.7

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

Langkah 2.2.3

Kurangi $4 \cos (2 x)$ dengan $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 4 \cos (2 x)$ .

$- 4 \cos (2 x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 4 \cos (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- 4 \cos (2 x) = 0$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $- 4 \cos (2 x) = 0$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 4 \cos (2 x) = 0$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah $\cos (2 x)$ dengan $1$ .

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 4$ .

$\cos (2 x) = 0$

Langkah 3.3

Ambil kosinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam kosinus.

$2 x = \arccos (0)$

Langkah 3.4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Nilai eksak dari $\arccos (0)$ adalah $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.5

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 3.5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Langkah 3.5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.5.3.2

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.5.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 3.6

Fungsi kosinus positif pada kuadran pertama dan keempat. Untuk menghitung penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $2 π$ untuk menemukan penyelesaian pada kuadran keempat.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

Untuk menuliskan $2 π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7.1.2

Gabungkan $2 π$ dan $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Langkah 3.7.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Langkah 3.7.1.4

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Langkah 3.7.1.5

Kurangi $π$ dengan $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Langkah 3.7.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{3 π}{2}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 3.7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 3.7.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Langkah 3.7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 3.7.2.3.2

Kalikan $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.2.3.2.1

Kalikan $\frac{3 π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Langkah 3.7.2.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Langkah 3.8

Tentukan periode dari $\cos (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.8.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 3.8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.8.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.9

Periode dari fungsi $\cos (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.10

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = x + \cos (2 x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π}{4}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

Langkah 4.1.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

Langkah 4.1.2.1.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

Langkah 4.1.2.1.2

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{2})$ adalah $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $\frac{π}{4}$ dan $0$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{π}{4}$ dalam $f (x) = x + \cos (2 x)$ adalah $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π}{4})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.68539816$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.68539816$ .

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \cos (1.37079632)$ .

$- 4 \cos (1.37079632)$

Langkah 6.3

Pada $0.68539816$ , turunan kedua adalah $- 0.79467732$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{π}{4})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{π}{4})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π}{4}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.88539816$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2$ dengan $0.88539816$ .

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 4 \cos (1.77079632)$ .

$- 4 \cos (1.77079632)$

Langkah 7.3

Pada $0.88539816$ , turunan keduanya adalah $0.79467732$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{π}{4}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π}{4}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

Langkah 9