Kalkulus Contoh

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

Langkah 1

Tulis $y = x^{5} + x^{3} - 2$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{5} + x^{3} - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Langkah 2.1.4

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

Langkah 2.1.5

Tambahkan $5 x^{4} + 3 x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} + 3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $20 x^{3} + 6 x$ .

$20 x^{3} + 6 x$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $20 x^{3} + 6 x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$20 x^{3} + 6 x = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $2 x$ dari $20 x^{3} + 6 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $2 x$ dari $20 x^{3}$ .

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $2 x$ dari $6 x$ .

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ .

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $10 x^{2} + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $10 x^{2} + 3$ sama dengan $0$ .

$10 x^{2} + 3 = 0$

Langkah 3.5.2

Selesaikan $10 x^{2} + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 x^{2} = - 3$

Langkah 3.5.2.2

Bagi setiap suku pada $10 x^{2} = - 3$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $10 x^{2} = - 3$ dengan $10$ .

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Langkah 3.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

Langkah 3.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

Langkah 3.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.2.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

Langkah 3.5.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

Langkah 3.5.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

Langkah 3.5.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

Langkah 3.5.2.4.3

Tulis kembali $\sqrt{\frac{3}{10}}$ sebagai $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

Langkah 3.5.2.4.4

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

Langkah 3.5.2.4.5

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.5.1

Kalikan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ dengan $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

Langkah 3.5.2.4.5.2

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

Langkah 3.5.2.4.5.3

Naikkan $\sqrt{10}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.5.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Langkah 3.5.2.4.5.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6

Tulis kembali ${\sqrt{10}}^{2}$ sebagai $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.5.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{10}$ sebagai $10^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.5.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

Langkah 3.5.2.4.5.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

Langkah 3.5.2.4.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.4.6.1

Gabungkan menggunakan kaidah hasil kali untuk akar.

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

Langkah 3.5.2.4.6.2

Kalikan $3$ dengan $10$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

Langkah 3.5.2.4.7

Gabungkan $i$ dan $\frac{\sqrt{30}}{10}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Langkah 3.5.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Langkah 3.5.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Langkah 3.5.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ benar.

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

Langkah 4.1.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 2$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0 - 2$

Langkah 4.1.2.2.2

Kurangi $2$ dengan $0$ .

$f (0) = - 2$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ adalah $(0, - 2)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, - 2)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $20$ dengan $- 0.001$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

Langkah 6.2.2

Kurangi $0.6$ dengan $- 0.02$ .

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.62$ .

$- 0.62$

Langkah 6.3

Pada $- 0.1$ , turunan kedua adalah $- 0.62$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 0)$

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $20$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $6$ dengan $0.1$ .

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $0.02$ dan $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.62$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.62$ .

$0.62$

Langkah 7.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.62$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(0, - 2)$ .

$(0, - 2)$

Langkah 9