Kalkulus Contoh

$y = x^{5} \ln (x)$

Langkah 1

Tulis $y = x^{5} \ln (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{5}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Gabungkan $x^{5}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{5}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{5}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2.2.5

Bagilah $x^{4}$ dengan $1$ .

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

Langkah 2.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Langkah 2.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4} \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ .

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

Langkah 2.2.2.2

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.2.2.3

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Langkah 2.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.5

Gabungkan $x^{4}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6

Hapus faktor persekutuan dari $x^{4}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.1

Faktorkan $x$ dari $x^{4}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.2.6.2.5

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Terapkan sifat distributif.

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

Langkah 2.2.3.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

Langkah 2.2.3.2.2

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $5 x^{3}$ .

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

Langkah 2.2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $9 x^{3}$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ dengan $20 x^{3}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ dengan $20 x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $20$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

Langkah 3.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

Langkah 3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{9}{20}}$ .

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

Langkah 3.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ dalam $f (x) = x^{5} \ln (x)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Faktorkan $5$ dari $20$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Langkah 4.1.2.4

Pindahkan $e^{\frac{9}{20}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

Langkah 4.1.2.5

Perluas $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ dengan memindahkan $- \frac{9}{20}$ ke luar logaritma.

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

Langkah 4.1.2.6

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

Langkah 4.1.2.8

Kalikan $\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ dengan $\frac{9}{20}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

Langkah 4.1.2.9

Pindahkan $20$ ke sebelah kiri $e^{\frac{9}{4}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Langkah 4.1.2.10

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ .

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ dalam $f (x) = x^{5} \ln (x)$ adalah $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.53762815$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $0.53762815$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $0.53762815$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $20$ dengan $0.1553982$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

Langkah 6.2.1.5

Sederhanakan $3.10796414 \ln (0.53762815)$ dengan memindahkan $3.10796414$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

Langkah 6.2.1.6

Naikkan $0.53762815$ menjadi pangkat $3.10796414$ .

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $1.39858386$ dan $\ln (0.14532747)$ .

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.53018177$ .

$- 0.53018177$

Langkah 6.3

Pada $0.53762815$ , turunan kedua adalah $- 0.53018177$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.73762815$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $0.73762815$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $9$ dengan $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $0.73762815$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $20$ dengan $0.40134$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

Langkah 7.2.1.5

Sederhanakan $8.02680006 \ln (0.73762815)$ dengan memindahkan $8.02680006$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

Langkah 7.2.1.6

Naikkan $0.73762815$ menjadi pangkat $8.02680006$ .

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $3.61206002$ dan $\ln (0.08692764)$ .

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1.16938082$ .

$1.16938082$

Langkah 7.3

Pada $0.73762815$ , turunan keduanya adalah $1.16938082$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

Langkah 9