Kalkulus Contoh

$y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Langkah 1

Tulis $y = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $5 x^{4} + 3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Langkah 2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{5}]$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{5}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 5$ .

$20 x^{3} + 3 (5 x^{4})$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$20 x^{3} + 15 x^{4}$

Langkah 2.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $15 x^{4} + 20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $15 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.2.3

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $3$ dengan $20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $60 x^{2}$ dari $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $60 x^{2}$ dari $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $60 x^{2}$ dari $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $60 x^{2}$ dari $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Langkah 3.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 1$ sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $60 x^{2} (x + 1) = 0$ benar.

$x = 0, - 1$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{5}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 5 \cdot 0 + 3 {(0)}^{5}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{5}$

Langkah 4.1.2.1.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = 5 {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{5}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = 5 \cdot 1 + 3 {(- 1)}^{5}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f (- 1) = 5 + 3 {(- 1)}^{5}$

Langkah 4.3.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $5$ .

$f (- 1) = 5 + 3 \cdot - 1$

Langkah 4.3.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f (- 1) = 5 - 3$

Langkah 4.3.2.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$f (- 1) = 2$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = 5 x^{4} + 3 x^{5}$ adalah $(- 1, 2)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, 2)$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 1, 2)$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = 60 {(- 1.1)}^{3} + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 1.1) = 60 \cdot - 1.331 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $60$ dengan $- 1.331$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 {(- 1.1)}^{2}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 60 \cdot 1.21$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 79.86 + 72.6$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 79.86$ dan $72.6$ .

$f'' (- 1.1) = - 7.26$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 7.26$ .

$- 7.26$

Langkah 6.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 7.26$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (- \frac{1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.5.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{8}$ ke dalam pembilangnya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 60 (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.2

Faktorkan $4$ dari $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 (15) (\frac{- 1}{8}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.3

Faktorkan $4$ dari $8$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.4

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 4 \cdot (15 (\frac{- 1}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.5.5

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = 15 (\frac{- 1}{2}) + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.6

Gabungkan $15$ dan $\frac{- 1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15 \cdot - 1}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.7

Kalikan $15$ dengan $- 1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 {(- \frac{1}{2})}^{2}$

Langkah 7.2.1.9

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.9.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2})$

Langkah 7.2.1.9.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 7.2.1.10

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}))$

Langkah 7.2.1.11

Kalikan $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1^{2}}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.12

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{2^{2}})$

Langkah 7.2.1.13

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 60 (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.14

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.14.1

Faktorkan $4$ dari $60$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 (15) (\frac{1}{4})$

Langkah 7.2.1.14.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{1}{4}))$

Langkah 7.2.1.14.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $15$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + 15 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 7.2.3

Gabungkan $15$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = - \frac{15}{2} + \frac{15 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 15 \cdot 2}{2}$

Langkah 7.2.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.5.1

Kalikan $15$ dengan $2$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 15 + 30}{2}$

Langkah 7.2.5.2

Tambahkan $- 15$ dan $30$ .

$f'' (- \frac{1}{2}) = \frac{15}{2}$

Langkah 7.2.6

Jawaban akhirnya adalah $\frac{15}{2}$ .

$\frac{15}{2}$

Langkah 7.3

Pada $- \frac{1}{2}$ , turunan keduanya adalah $7.5$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 0)$ .

Meningkat pada $(- 1, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $60$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 {(0.1)}^{2}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 60 \cdot 0.01$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $60$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.06 + 0.6$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $0.06$ dan $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.66$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.66$ .

$0.66$

Langkah 8.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.66$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, 2)$ .

$(- 1, 2)$

Langkah 10