Kalkulus Contoh

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Langkah 1

Tulis $y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ sebagai fungsi.

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.4

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Kalikan $\frac{4}{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.2

Gabungkan $\frac{4}{x}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.3.1

Faktorkan $x$ dari $4 x^{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.3.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.5.3.2.5

Bagilah $4 x$ dengan $1$ .

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.6

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.7

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.1

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{4}$ .

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.7.2

Gabungkan $\frac{4}{4}$ dan $x$ .

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.7.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.7.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.7.3.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.9

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Langkah 2.1.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Langkah 2.1.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

Langkah 2.1.11.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

Langkah 2.1.11.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x \ln (\frac{x}{4})$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ .

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = \frac{x}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.3.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.4

Karena $\frac{1}{4}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x}{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.7

Kalikan balikan dari pecahan tersebut untuk membagi dengan $\frac{x}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.8

Kalikan $\frac{4}{x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.9

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.10

Kalikan $\frac{4}{x}$ dengan $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.11

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.12

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.12.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.12.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.13

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.14

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.14.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.14.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.2.15

Kalikan $\ln (\frac{x}{4})$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5 x$ terhadap $x$ adalah $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $5$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Langkah 2.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

Langkah 2.2.4.2.2

Tambahkan $10$ dan $5$ .

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $15$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

Langkah 3.3

Bagi setiap suku pada $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ dengan $10$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagilah setiap suku di $10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ dengan $10$ .

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

Langkah 3.3.2.1.2

Bagilah $\ln (\frac{x}{4})$ dengan $1$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 15$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.1

Faktorkan $5$ dari $- 15$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

Langkah 3.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1.2.1

Faktorkan $5$ dari $10$ .

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

Langkah 3.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

Langkah 3.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

Langkah 3.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 3.5

Tulis kembali $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

Langkah 3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ .

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 3.6.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $4$ .

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 3.6.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 3.6.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

Langkah 3.6.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1

Sederhanakan $4 e^{- \frac{3}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.3.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 3.6.3.2.1.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ dalam $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan eksponen dalam ${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $5 \frac{16}{e^{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.4.1

Gabungkan $5$ dan $\frac{16}{e^{3}}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.4.2

Kalikan $5$ dengan $16$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

Langkah 4.1.2.5

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

Langkah 4.1.2.6

Gabungkan.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Langkah 4.1.2.7

Kurangi pernyataan $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

Langkah 4.1.2.7.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

Langkah 4.1.2.8

Pindahkan $e^{\frac{3}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

Langkah 4.1.2.9

Perluas $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ dengan memindahkan $- \frac{3}{2}$ ke luar logaritma.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

Langkah 4.1.2.10

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.11

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

Langkah 4.1.2.12

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.12.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{2}$ ke dalam pembilangnya.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 4.1.2.12.2

Faktorkan $2$ dari $80$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 4.1.2.12.3

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

Langkah 4.1.2.12.4

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

Langkah 4.1.2.13

Gabungkan $\frac{40}{e^{3}}$ dan $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

Langkah 4.1.2.14

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.14.1

Kalikan $40$ dengan $- 3$ .

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

Langkah 4.1.2.14.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

Langkah 4.1.2.15

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{120}{e^{3}}$ .

$- \frac{120}{e^{3}}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ dalam $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ adalah $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.79252064$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Bagilah $0.79252064$ dengan $4$ .

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

Langkah 6.2.1.2

Sederhanakan $10 \ln (0.19813016)$ dengan memindahkan $10$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $0.19813016$ menjadi pangkat $10$ .

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (0.00000009) + 15$ .

$\ln (0.00000009) + 15$

Langkah 6.3

Pada $0.79252064$ , turunan kedua adalah $- 1.18831089$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$

Menurun pada $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.99252064$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Bagilah $0.99252064$ dengan $4$ .

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

Langkah 7.2.1.2

Sederhanakan $10 \ln (0.24813016)$ dengan memindahkan $10$ ke dalam logaritma.

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

Langkah 7.2.1.3

Naikkan $0.24813016$ menjadi pangkat $10$ .

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\ln (0.00000088) + 15$ .

$\ln (0.00000088) + 15$

Langkah 7.3

Pada $0.99252064$ , turunan keduanya adalah $1.06198168$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ .

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

Langkah 9