Kalkulus Contoh

$\frac{x}{x + 1}$

Langkah 1

Tulis $\frac{x}{x + 1}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x}{x + 1}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.2

Kalikan $x + 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.6

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.6.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.6.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.6.3

Kurangi $x$ dengan $x$ .

$\frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.2.6.4

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ sebagai ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(x + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{- 2}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Langkah 2.1.2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.3.4.2

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$- 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Langkah 2.1.2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $2 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{x}{x + 1}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x + 1 = 0$

Langkah 3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 1}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq - 1}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 4) = - \frac{2}{- 27}$

Langkah 5.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 4) = \frac{2}{27}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{27}$ .

$\frac{2}{27}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (- 4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{2}{{((0) + 1)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2}{1^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = - \frac{2}{1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = - 1 \cdot 2$

Langkah 6.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (0) = - 2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- 1, \infty)$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- 1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- 1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8