Kalkulus Contoh

$- e^{x} (x - 5)$

Langkah 1

Tulis $- e^{x} (x - 5)$ sebagai fungsi.

$f (x) = - e^{x} (x - 5)$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- e^{x} (x - 5)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$ .

$- \frac{d}{d x} [e^{x} (x - 5)]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - 5$ .

$- (e^{x} \frac{d}{d x} [x - 5] + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- (e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 5]) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.3.3

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- (e^{x} (1 + 0) + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- (e^{x} \cdot 1 + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.3.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$- (e^{x} + (x - 5) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Langkah 2.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (e^{x} + (x - 5) e^{x})$

Langkah 2.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$- (e^{x} + x e^{x} - 5 e^{x})$

Langkah 2.1.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$- e^{x} - (x e^{x}) - (- 5 e^{x})$

Langkah 2.1.1.5.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.3.1

Kalikan $- 5$ dengan $- 1$ .

$- e^{x} - x e^{x} + 5 e^{x}$

Langkah 2.1.1.5.3.2

Tambahkan $- e^{x}$ dan $5 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x}$

Langkah 2.1.1.5.4

Susun kembali suku-suku.

$- e^{x} x + 4 e^{x}$

Langkah 2.1.1.5.5

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{x} x + 4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x e^{x} + 4 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x e^{x}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.2.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [4 e^{x}]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- (x e^{x} + e^{x}) + 4 e^{x}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- (x e^{x}) - e^{x} + 4 e^{x}$

Langkah 2.1.2.4.2

Tambahkan $- e^{x}$ dan $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Langkah 2.1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Langkah 2.1.2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f'' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Langkah 2.2.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Langkah 2.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Langkah 2.2.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.2.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.2.5

Atur $- x + 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Atur $- x + 3$ sama dengan $0$ .

$- x + 3 = 0$

Langkah 2.2.5.2

Selesaikan $- x + 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Kurangkan $3$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 3$

Langkah 2.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 3$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 3$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Langkah 2.2.5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.3.1

Bagilah $- 3$ dengan $- 1$ .

$x = 3$

Langkah 2.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (- x + 3) = 0$ benar.

$x = 3$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 3)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} + 3 e^{0}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 + 3 e^{0}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 e^{0}$

Langkah 5.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 + 3$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $0$ dan $3$ .

$f'' (0) = 3$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, 3)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 3)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6) = - 6 \cdot e^{6} + 3 e^{6}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Tambahkan $- 6 e^{6}$ dan $3 e^{6}$ .

$f'' (6) = - 3 e^{6}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $- 3 e^{6}$ .

$- 3 e^{6}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(3, \infty)$ karena $f'' (6)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(3, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 3)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(3, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8