Kalkulus Contoh

$x e^{- 3 x}$

Langkah 1

Tulis $x e^{- 3 x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{- 3 x}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{- 3 x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 3 x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 3 x$ .

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.3.1

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.3.3.2

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $e^{- 3 x}$ .

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

Langkah 2.1.1.3.5

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $1$ .

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ .

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x e^{- 3 x}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.2

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $- 3 x$ .

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.3.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $- 3 x$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.7

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.8

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.2.9

Kalikan $e^{- 3 x}$ dengan $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

Langkah 2.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- 3 x$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Langkah 2.1.2.3.2

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 2.1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

Langkah 2.1.2.3.4

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

Langkah 2.1.2.3.5

Pindahkan $- 3$ ke sebelah kiri $e^{- 3 x}$ .

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 3$ .

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2.4.2.2

Kurangi $3 e^{- 3 x}$ dengan $- 3 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $3 e^{- 3 x}$ dari $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $3 e^{- 3 x}$ dari $9 x e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.2.2.2

Faktorkan $3 e^{- 3 x}$ dari $- 6 e^{- 3 x}$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

Langkah 2.2.2.3

Faktorkan $3 e^{- 3 x}$ dari $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ .

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

Langkah 2.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

Langkah 2.2.4

Atur $e^{- 3 x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Atur $e^{- 3 x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- 3 x} = 0$

Langkah 2.2.4.2

Selesaikan $e^{- 3 x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

Langkah 2.2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 3 x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.2.5

Atur $3 x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.1

Atur $3 x - 2$ sama dengan $0$ .

$3 x - 2 = 0$

Langkah 2.2.5.2

Selesaikan $3 x - 2 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 2$

Langkah 2.2.5.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 2$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 2$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 2.2.5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

Langkah 2.2.5.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 2.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ benar.

$x = \frac{2}{3}$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \frac{2}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Langkah 5.2.1.3

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

Langkah 5.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

Langkah 5.2.1.6

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

Langkah 5.2.1.7

Kalikan $- 6$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 0 - 6$

Langkah 5.2.2

Kurangi $6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 6$ .

$- 6$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, \frac{2}{3})$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, \frac{2}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.1.4

Gabungkan $27$ dan $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

Langkah 6.2.1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

Langkah 6.2.1.7

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{e^{9}}$ .

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

Langkah 6.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

Langkah 6.2.2.2

Kurangi $6$ dengan $27$ .

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{21}{e^{9}}$ .

$\frac{21}{e^{9}}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(\frac{2}{3}, \infty)$ karena $f'' (3)$ positif.

Cekung ke atas pada $(\frac{2}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, \frac{2}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(\frac{2}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8