Kalkulus Contoh

$\arctan (x)$

Langkah 1

Tulis $\arctan (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \arctan (x)$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Turunan dari $\arctan (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Langkah 2.1.1.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2} + 1}$ sebagai ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

Langkah 2.1.2.3.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

Langkah 2.1.2.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.2.1

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Langkah 2.1.2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

Langkah 2.1.2.4.2.3

Gabungkan $x$ dan $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4.2.4

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 x = 0$

Langkah 2.2.3

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 2.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

Langkah 5.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{4}{25}$ .

$\frac{4}{25}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, 0)$ karena $f'' (- 2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{4}{25}$ .

$- \frac{4}{25}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 0)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8