Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2} - x$ dan $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 3 x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.8

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.10

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.11

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.2.12

Tambahkan $2 x + 3$ dan $0$ .

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.1

Perluas $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ dengan mengalikan setiap suku dalam pernyataan pertama dengan setiap suku dalam pernyataan kedua.

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.3

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.4

Tulis kembali $- 1 x^{2}$ sebagai $- x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.7

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.8

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.9

Kalikan $2$ dengan $- 4$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.2.10

Kalikan $- 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.3

Tambahkan $- x^{2}$ dan $6 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.4

Kurangi $8 x$ dengan $- 3 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.5

Kalikan $- - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.6

Perluas $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.4

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.6

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.1.7

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.1.7.2

Tambahkan $- 3 x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.2.2

Tambahkan $5 x^{2} - 11 x + 4$ dan $0$ .

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.3

Kurangi $x^{2}$ dengan $5 x^{2}$ .

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.2.4

Tambahkan $- 11 x$ dan $3 x$ .

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2} - 8 x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.1.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 8 x$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.3

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.4

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.1.5

Faktorkan $4$ dari $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2

Faktorkan menggunakan aturan kuadrat sempurna.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.3.2.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2.2

Periksa apakah suku tengahnya merupakan dua kali hasil perkalian dari bilangan yang dikuadratkan di suku pertama dan suku ketiga.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.3.2.3

Tulis kembali polinomialnya.

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.3.2.4

Faktorkan menggunakan aturan trinomial kuadrat sempurna $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , di mana $a = x$ dan $b = 1$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1

Faktorkan $x^{2} + 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.4.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $3$ .

$- 1, 4$

Langkah 1.1.1.3.4.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x - 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.1.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

Langkah 1.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ sebagai ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

Langkah 1.1.2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 4$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Langkah 1.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 4$ .

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $4$ .

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

Langkah 1.1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

Langkah 1.1.2.3.4

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

Langkah 1.1.2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3.5.2

Kalikan $- 8$ dengan $1$ .

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.2.1

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 1.1.2.4.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$8 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $8 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

Langkah 2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x^{2} + 3 x - 4$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 4$ dan jumlahnya $3$ .

$- 1, 4$

Langkah 2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$(x - 1) (x + 4) = 0$

Langkah 2.2.2

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

Langkah 2.2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.2.3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 2.2.4

Atur $x + 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Atur $x + 4$ sama dengan $0$ .

$x + 4 = 0$

Langkah 2.2.4.2

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 4$

Langkah 2.2.5

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $(x - 1) (x + 4) = 0$ benar.

$x = 1, - 4$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 1, - 4}$

Notasi Interval:

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 1, - 4}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - 4)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Tambahkan $- 6$ dan $4$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 4.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Bagilah $8$ dengan $- 8$ .

$f'' (- 6) = 1$

Langkah 4.2.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (- 6) = 1$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (- 6)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- 4, 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $8$ dari $64$ .

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{8}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- 4, 1)$ karena $f'' (0)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- 4, 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $4$ dan $4$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $8$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

Langkah 6.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $512$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

Langkah 6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Faktorkan $8$ dari $512$ .

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Langkah 6.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

Langkah 6.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{64}$ .

$- \frac{1}{64}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(1, \infty)$ karena $f'' (4)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, - 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(- 4, 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke bawah pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8