Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{4} - 8 x^{3} + 6 x^{2} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{4}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 8 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.3.3

Kalikan $3$ dengan $- 8$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.4.1

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.4.3

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} (1)$

Langkah 1.1.1.5

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x + 0$

Langkah 1.1.1.5.2

Tambahkan $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ dan $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $12 x^{3} - 24 x^{2} + 12 x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $3$ dengan $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 24$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + \frac{d}{d x} (12 x)$

Langkah 1.1.2.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Karena $12$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $12 x$ terhadap $x$ adalah $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.4.3

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 x + 12$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$36 x^{2} - 48 x + 12 = 0$

Langkah 1.2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Faktorkan $12$ dari $36 x^{2} - 48 x + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1.1

Faktorkan $12$ dari $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 48 x + 12 = 0$

Langkah 1.2.2.1.2

Faktorkan $12$ dari $- 48 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 = 0$

Langkah 1.2.2.1.3

Faktorkan $12$ dari $12$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x) + 12 (1) = 0$

Langkah 1.2.2.1.4

Faktorkan $12$ dari $12 (3 x^{2}) + 12 (- 4 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1) = 0$

Langkah 1.2.2.1.5

Faktorkan $12$ dari $12 (3 x^{2} - 4 x) + 12 (1)$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Faktorkan dengan pengelompokan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Untuk polinomial dari bentuk $a x^{2} + b x + c$ , tulis kembali suku tengahnya sebagai penjumlahan dari dua suku yang hasil kalinya adalah $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ dan yang jumlahnya adalah $b = - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Faktorkan $- 4$ dari $- 4 x$ .

$12 (3 x^{2} - 4 x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1$ ditambah $- 3$

$12 (3 x^{2} + (- 1 - 3) x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.1.3

Terapkan sifat distributif.

$12 (3 x^{2} - 1 x - 3 x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar dari setiap kelompok.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.2.1

Kelompokkan dua suku pertama dan dua suku terakhir.

$12 ((3 x^{2} - 1 x) - 3 x + 1) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.2.2

Faktorkan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari setiap kelompok.

$12 (x (3 x - 1) - (3 x - 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.1.3

Faktorkan polinomial dengan memfaktorkan faktor persekutuan terbesar, $3 x - 1$ .

$12 ((3 x - 1) (x - 1)) = 0$

Langkah 1.2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$

Langkah 1.2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4

Atur $3 x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Atur $3 x - 1$ sama dengan $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Langkah 1.2.4.2

Selesaikan $3 x - 1 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x = 1$

Langkah 1.2.4.2.2

Bagi setiap suku pada $3 x = 1$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Bagilah setiap suku di $3 x = 1$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.4.2.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 1$ sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 1.2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $12 (3 x - 1) (x - 1) = 0$ benar.

$x = \frac{1}{3}, 1$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \frac{1}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 36 {(0)}^{2} - 48 \cdot 0 + 12$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 36 \cdot 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Langkah 4.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 48 \cdot 0 + 12$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $- 48$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 0 + 12$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tambahkan $0$ dan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 12$

Langkah 4.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $12$ .

$f'' (0) = 12$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $12$ .

$12$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \frac{1}{3})$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \frac{1}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(\frac{1}{3}, 1)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.67$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.67) = 36 {(0.67)}^{2} - 48 \cdot 0.67 + 12$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $0.67$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.67) = 36 \cdot 0.4489 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $0.4489$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 48 \cdot 0.67 + 12$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $- 48$ dengan $0.67$ .

$f'' (0.67) = 16.1604 - 32.16 + 12$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $32.16$ dengan $16.1604$ .

$f'' (0.67) = - 15.9996 + 12$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 15.9996$ dan $12$ .

$f'' (0.67) = - 3.9996$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3.9996$ .

$- 3.9996$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(\frac{1}{3}, 1)$ karena $f'' (0.67)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(\frac{1}{3}, 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4) = 36 {(4)}^{2} - 48 \cdot 4 + 12$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (4) = 36 \cdot 16 - 48 \cdot 4 + 12$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $36$ dengan $16$ .

$f'' (4) = 576 - 48 \cdot 4 + 12$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $- 48$ dengan $4$ .

$f'' (4) = 576 - 192 + 12$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $192$ dengan $576$ .

$f'' (4) = 384 + 12$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $384$ dan $12$ .

$f'' (4) = 396$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $396$ .

$396$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(1, \infty)$ karena $f'' (4)$ positif.

Cekung ke atas pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \frac{1}{3})$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(\frac{1}{3}, 1)$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 8