Kalkulus Contoh

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $10$ .

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 \sin (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \sin (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Turunan dari $\sin (u)$ terhadap $u$ adalah $\cos (u)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 1.1.1.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.1.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.1.1.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $\cos (2 x)$ .

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

Langkah 1.1.1.3.7

Kalikan $2$ dengan $- 10$ .

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $20 x - 20 \cos (2 x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $- 20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 20 \cos (2 x)$ terhadap $x$ adalah $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \cos (x)$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.2.2

Turunan dari $\cos (u)$ terhadap $u$ adalah $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.3

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Langkah 1.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Langkah 1.1.2.3.5

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Langkah 1.1.2.3.6

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

Langkah 1.1.2.3.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 20$ .

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $20 + 40 \sin (2 x)$ .

$20 + 40 \sin (2 x)$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $20$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$40 \sin (2 x) = - 20$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $40 \sin (2 x) = - 20$ dengan $40$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $40 \sin (2 x) = - 20$ dengan $40$ .

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $40$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $40$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.1

Faktorkan $20$ dari $- 20$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

Langkah 1.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.2.1

Faktorkan $20$ dari $40$ .

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 1.2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.4

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Nilai eksak dari $\arcsin (- \frac{1}{2})$ adalah $- \frac{π}{6}$ .

$2 x = - \frac{π}{6}$

Langkah 1.2.6

Bagi setiap suku pada $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - \frac{π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.6.3.2

Kalikan $- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.3.2.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

Langkah 1.2.6.3.2.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Langkah 1.2.7

Fungsi sinus negatif pada kuadran ketiga dan keempat. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi penyelesaian dari $2 π$ , untuk mencari sudut acuan. Selanjutnya, tambahkan sudut acuan ini ke $π$ untuk mencari penyelesaian pada kuadran ketiga.

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Langkah 1.2.8

Sederhanakan pernyataan untuk menentukan penyelesaian yang kedua.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.1

Kurangi $2 π$ dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Langkah 1.2.8.2

Sudut yang dihasilkan dari $\frac{7 π}{6}$ positif, lebih kecil dari $2 π$ , dan koterminal dengan $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$2 x = \frac{7 π}{6}$

Langkah 1.2.8.3

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{7 π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.8.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

Langkah 1.2.8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.3.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 1.2.8.3.3.2

Kalikan $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.8.3.3.2.1

Kalikan $\frac{7 π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Langkah 1.2.8.3.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Langkah 1.2.9

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.9.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 1.2.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 1.2.9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.9.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 1.2.9.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 1.2.10

Tambahkan $π$ ke setiap sudut negatif untuk memperoleh sudut positif.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Tambahkan $π$ ke $- \frac{π}{12}$ untuk menentukan sudut positif.

$- \frac{π}{12} + π$

Langkah 1.2.10.2

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{12}{12}$ .

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 1.2.10.3

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.3.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{12}{12}$ .

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Langkah 1.2.10.3.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

Langkah 1.2.10.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.4.1

Pindahkan $12$ ke sebelah kiri $π$ .

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

Langkah 1.2.10.4.2

Kurangi $π$ dengan $12 π$ .

$\frac{11 π}{12}$

Langkah 1.2.10.5

Sebutkan sudut-sudut barunya.

$x = \frac{11 π}{12}$

Langkah 1.2.11

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

Langkah 4.2.1.2

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

Langkah 4.2.1.3

Kalikan $40$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 20 + 0$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $20$ dan $0$ .

$f'' (0) = 20$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $20$ .

$20$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5