Kalkulus Contoh

$f (x) = x {(x + 5)}^{2}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Tulis kembali ${(x + 5)}^{2}$ sebagai $(x + 5) (x + 5)$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x ((x + 5) (x + 5)))$

Langkah 1.1.1.2

Perluas $(x + 5) (x + 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x (x + 5) + 5 (x + 5)))$

Langkah 1.1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)))$

Langkah 1.1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Langkah 1.1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5))$

Langkah 1.1.1.3.1.2

Pindahkan $5$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5))$

Langkah 1.1.1.3.1.3

Kalikan $5$ dengan $5$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25))$

Langkah 1.1.1.3.2

Tambahkan $5 x$ dan $5 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x (x^{2} + 10 x + 25))$

Langkah 1.1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 10 x + 25$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (x^{2} + 10 x + 25) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 10 x + 25$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x (2 x + \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.3

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.5

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 + \frac{d}{d x} (25)) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.6

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 10 + 0) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.7

Tambahkan $2 x + 10$ dan $0$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + (x^{2} + 10 x + 25) \cdot 1$

Langkah 1.1.1.5.9

Kalikan $x^{2} + 10 x + 25$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (2 x + 10) + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = x (2 x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.6.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + x \cdot 10 + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.5

Pindahkan $10$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} + 10 \cdot x + x^{2} + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.6

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 10 x + 10 x + 25$

Langkah 1.1.1.6.2.7

Tambahkan $10 x$ dan $10 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 20 x + 25$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} + 20 x + 25$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [20 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Karena $20$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $20 x$ terhadap $x$ adalah $20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.3.3

Kalikan $20$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 + \frac{d}{d x} (25)$

Langkah 1.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 20 + 0$

Langkah 1.1.2.4.2

Tambahkan $6 x + 20$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 20$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x + 20$ .

$6 x + 20$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x + 20 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x + 20 = 0$

Langkah 1.2.2

Kurangkan $20$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$6 x = - 20$

Langkah 1.2.3

Bagi setiap suku pada $6 x = - 20$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagilah setiap suku di $6 x = - 20$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 20}{6}$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 20}{6}$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 20}{6}$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Hapus faktor persekutuan dari $- 20$ dan $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.1

Faktorkan $2$ dari $- 20$ .

$x = \frac{2 (- 10)}{6}$

Langkah 1.2.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1.2.1

Faktorkan $2$ dari $6$ .

$x = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \frac{2 \cdot - 10}{2 \cdot 3}$

Langkah 1.2.3.3.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \frac{- 10}{3}$

Langkah 1.2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{10}{3}$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, - \frac{10}{3}) \cup (- \frac{10}{3}, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, - \frac{10}{3})$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6) = 6 (- 6) + 20$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Kalikan $6$ dengan $- 6$ .

$f'' (- 6) = - 36 + 20$

Langkah 4.2.2

Tambahkan $- 36$ dan $20$ .

$f'' (- 6) = - 16$

Langkah 4.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 16$ .

$- 16$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(- \infty, - \frac{10}{3})$ karena $f'' (- 6)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - \frac{10}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \frac{10}{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = 6 (0) + 20$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $6$ dengan $0$ .

$f'' (0) = 0 + 20$

Langkah 5.2.2

Tambahkan $0$ dan $20$ .

$f'' (0) = 20$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $20$ .

$20$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \frac{10}{3}, \infty)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \frac{10}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke bawah pada $(- \infty, - \frac{10}{3})$ karena $f'' (x)$ negatif

Cekung ke atas pada $(- \frac{10}{3}, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 7