Kalkulus Contoh

$f (x) = x \sqrt{x + 6}$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{x + 6}$ sebagai ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 6$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.4

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.5

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.6

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.7

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.7.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.7.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.8

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.8.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.8.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = x (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.8.3

Pindahkan ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.8.4

Gabungkan $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.9

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.10

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.11

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.12

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.12.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.12.2

Kalikan $\frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 1.1.1.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Langkah 1.1.1.14

Kalikan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$

Langkah 1.1.1.15

Untuk menuliskan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.16

Gabungkan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ dan $\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.18

Kalikan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ dengan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.18.1

Pindahkan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.18.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.18.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.18.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (x) = \frac{x + {(x + 6)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.18.5

Bagilah $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.19

Sederhanakan ${(x + 6)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = \frac{x + (x + 6) \cdot 2}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.20

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x + 6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 6)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.21.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 6}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.21.2.1

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21.2.2

Tambahkan $x$ dan $2 x$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.21.3.1

Faktorkan $3$ dari $3 x$ .

$f' (x) = \frac{3 (x) + 12}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21.3.2

Faktorkan $3$ dari $12$ .

$f' (x) = \frac{3 x + 3 \cdot 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.1.21.3.3

Faktorkan $3$ dari $3 x + 3 \cdot 4$ .

$f' (x) = \frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $\frac{3}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{3 (x + 4)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x + 4}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x + 4$ dan $g (x) = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{{(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 4) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} (4)) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.5.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.5.4.2

Kalikan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{d}{d x} {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.6

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ dan $g (x) = x + 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.6.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.6.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ adalah $n {u_{1}}^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.6.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $x + 6$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.7

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.8

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.9

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.10

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.10.2

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.11

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.11.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(x + 6)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.11.2

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{{(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.11.3

Pindahkan ${(x + 6)}^{- \frac{1}{2}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 6))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.12

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 6$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.13

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (6)))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.14

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0))}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.15

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.15.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1)}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.15.2

Kalikan $\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3}{2} \cdot \frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$

Langkah 1.1.2.15.3

Kalikan $\frac{3}{2}$ dengan $\frac{{(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{x + 6}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} - (x + 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 (x + 6)}$

Langkah 1.1.2.16

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Langkah 1.1.2.16.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 (x + 6)}$

Langkah 1.1.2.16.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + 3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.1.1

Faktorkan $3$ dari $3 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.1.2

Faktorkan $3$ dari $3 (- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.1.3

Faktorkan $3$ dari $3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}}) + 3 ((- x - 1 \cdot 4) \frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})$ .

$f'' (x) = \frac{3 ({(x + 6)}^{\frac{1}{2}} + (- x - 1 \cdot 4) (\frac{1}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}))}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.2

Biarkan $u_{2} = {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ . Masukkan $u_{2}$ untuk semua kejadian ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 u_{2} u_{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.2.2.1

Pindahkan $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (u_{2} u_{2}) - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.2.2.2

Kalikan $u_{2}$ dengan $u_{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {u_{2}}^{2} - x - 4}{2 u_{2}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan ${(x + 6)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.2

Sederhanakan.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 (x + 6) - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 2 \cdot 6 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.1.4

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{2 x + 12 - x - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.2

Kurangi $x$ dengan $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 12 - 4}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.4.4.3

Kurangi $4$ dengan $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}})}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.5

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.5.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{x + 8}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 2 \cdot 6}$

Langkah 1.1.2.16.5.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$

Langkah 1.1.2.16.5.3

Tulis kembali $\frac{\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}}{2 x + 12}$ sebagai hasil kali.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2 x + 12}$

Langkah 1.1.2.16.5.4

Kalikan $\frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}}}$ dengan $\frac{1}{2 x + 12}$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 12)}$

Langkah 1.1.2.16.6

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.6.1

Faktorkan $2$ dari $2 x + 12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.6.1.1

Faktorkan $2$ dari $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x) + 12)}$

Langkah 1.1.2.16.6.1.2

Faktorkan $2$ dari $12$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 2 \cdot 6)}$

Langkah 1.1.2.16.6.1.3

Faktorkan $2$ dari $2 x + 2 \cdot 6$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (2 (x + 6))}$

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{2 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} \cdot (2 (x + 6))}$

Langkah 1.1.2.16.6.2

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.16.6.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{1}{2}} (x + 6)}$

Langkah 1.1.2.16.6.2.2

Naikkan $x + 6$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 ((x + 6) {(x + 6)}^{\frac{1}{2}})}$

Langkah 1.1.2.16.6.2.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.16.6.2.4

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.16.6.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

Langkah 1.1.2.16.6.2.6

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f'' (x) = \frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 (x + 8) = 0$

Langkah 1.2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Bagi setiap suku pada $3 (x + 8) = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $3 (x + 8) = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 (x + 8)}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.1.2.1.2

Bagilah $x + 8$ dengan $1$ .

$x + 8 = \frac{0}{3}$

Langkah 1.2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

$x + 8 = 0$

Langkah 1.2.3.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 8$

Langkah 1.2.4

Meniadakan penyelesaian yang tidak membuat $\frac{3 (x + 8)}{4 {(x + 6)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ benar.

$Tidak ada penyelesaian$

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = x \sqrt{x + 6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur bilangan di bawah akar dalam $\sqrt{x + 6}$ agar lebih besar dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x + 6 \geq 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $6$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$x \geq - 6$

Langkah 2.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$[- 6, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq - 6}$

Notasi Interval:

$[- 6, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \geq - 6}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$[- 6, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $[- 6, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{3 ((0) + 8)}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Faktorkan $4$ dari $3 ((0) + 8)$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}$ .

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 ({((0) + 6)}^{\frac{3}{2}})}$

Langkah 4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{4 (3 (0 + 2))}{4 {((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{3 (0 + 2)}{{((0) + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.3

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{{(0 + 6)}^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.4

Tambahkan $0$ dan $6$ .

$f'' (0) = \frac{3 \cdot 2}{6^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.5

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (0) = \frac{6}{6^{\frac{3}{2}}}$

Langkah 4.2.6

Pindahkan $6^{1}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2}} \cdot 6^{- 1}}$

Langkah 4.2.7

Kalikan $6^{\frac{3}{2}}$ dengan $6^{- 1}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1}}$

Langkah 4.2.7.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}$

Langkah 4.2.7.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 4.2.7.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}}$

Langkah 4.2.7.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.7.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{3 - 2}{2}}}$

Langkah 4.2.7.5.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f'' (0) = \frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.2.8

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{6^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $[- 6, \infty)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $[- 6, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5