Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{3} - x$ , $[0, 4]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = x^{3} - x$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 x^{2} - 1$ .

$3 x^{2} - 1$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(0, 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(0, 4)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(0, 4)$ karena turunannya kontinu di $(0, 4)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[0, 4]$ dan terdiferensiasi pada $(0, 4)$ .

$f (x)$ kontinu di $[0, 4]$ dan terdiferensiasi di $(0, 4)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[0, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{3} - (0)$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 - (0)$

Langkah 7.2.2

Kurangi $0$ dengan $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[0, 4]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = {(4)}^{3} - (4)$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f (4) = 64 - (4)$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f (4) = 64 - 4$

Langkah 8.2.2

Kurangi $4$ dengan $64$ .

$f (4) = 60$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $60$ .

$60$

Langkah 9

Selesaikan $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $3 x^{2} - 1 = \frac{- (f (4) + f (0))}{- (4 + 0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $\frac{(60) - (0)}{(4) - (0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60 + 0}{4 - (0)}$

Langkah 9.1.1.2

Tambahkan $60$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 - (0)}$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4 + 0}$

Langkah 9.1.2.2

Tambahkan $4$ dan $0$ .

$3 x^{2} - 1 = \frac{60}{4}$

Langkah 9.1.3

Bagilah $60$ dengan $4$ .

$3 x^{2} - 1 = 15$

Langkah 9.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $x$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$3 x^{2} = 15 + 1$

Langkah 9.2.2

Tambahkan $15$ dan $1$ .

$3 x^{2} = 16$

Langkah 9.3

Bagi setiap suku pada $3 x^{2} = 16$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Bagilah setiap suku di $3 x^{2} = 16$ dengan $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{16}{3}$

Langkah 9.3.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{16}{3}$

Langkah 9.4

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}$

Langkah 9.5

Sederhanakan $\pm \sqrt{\frac{16}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.1

Tulis kembali $\sqrt{\frac{16}{3}}$ sebagai $\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}}$

Langkah 9.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.2.1

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4^{2}}}{\sqrt{3}}$

Langkah 9.5.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}}$

Langkah 9.5.3

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Langkah 9.5.4

Gabungkan dan sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.4.1

Kalikan $\frac{4}{\sqrt{3}}$ dengan $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Langkah 9.5.4.2

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Langkah 9.5.4.3

Naikkan $\sqrt{3}$ menjadi pangkat $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Langkah 9.5.4.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Langkah 9.5.4.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Langkah 9.5.4.6

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.4.6.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Langkah 9.5.4.6.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Langkah 9.5.4.6.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.5.4.6.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.5.4.6.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Langkah 9.5.4.6.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Langkah 9.5.4.6.5

Evaluasi eksponennya.

$x = \pm \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 9.6

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.6.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 9.6.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 9.6.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}, - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = 4$ .

Terdapat garis tangen pada $x = \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = 4$

Langkah 11

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = 4$ .

Terdapat garis tangen pada $x = - \frac{4 \sqrt{3}}{3}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 0$ dan $b = 4$

Langkah 12