Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ , $[- 1, 1]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[- 1, 1]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt[3]{x^{1}}$

Langkah 2.1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\sqrt[3]{x}$

Langkah 2.1.2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[- 1, 1]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}$

Langkah 3.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}$

Langkah 3.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}$

Langkah 3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}$

Langkah 3.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.1.7.2

Kalikan $\frac{1}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(- 1, 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(- 1, 1)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

Langkah 4.1.2

Atur penyebut dalam $\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Langkah 4.1.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x^{2}}$ sebagai $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 x^{2} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x^{2} = 0$

Langkah 4.1.3.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Bagi setiap suku pada $27 x^{2} = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.1

Bagilah setiap suku di $27 x^{2} = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.1.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 4.1.3.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 4.1.3.3.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.1.3.3.3.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 4.1.3.3.3.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 4.1.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ tidak kontinu di $(- 1, 1)$ karena $0$ tidak ada di dalam domain dari $f' (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

Fungsinya tidak kontinu.

Langkah 5

Fungsinya tidak terdiferensialkan pada $(- 1, 1)$ karena turunan $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ tidak kontinu pada $(- 1, 1)$ .

Fungsinya tidak terdiferensialkan.

Langkah 6