Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ , $[1, 8]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[1, 8]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\sqrt[3]{x^{2}}$

Langkah 2.1.2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[1, 8]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Langkah 3.1.2

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Langkah 3.1.3

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Langkah 3.1.5.2

Kurangi $3$ dengan $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Langkah 3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Langkah 3.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.7.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 3.1.7.2

Kalikan $\frac{2}{3}$ dengan $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(1, 8)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(1, 8)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ubah persamaan dengan eksponen pecahan menjadi akar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Gunakan rumus $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ untuk menulis kembali eksponensiasi ke dalam bentuk akar.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Langkah 4.1.1.2

Apa pun yang dipangkatkan ke $1$ sama dengan bilangan pokok itu sendiri.

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$

Langkah 4.1.2

Atur penyebut dalam $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Langkah 4.1.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1

Sederhanakan ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.2.1.4

Sederhanakan.

$27 x = 0^{3}$

Langkah 4.1.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.2.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$27 x = 0$

Langkah 4.1.3.3

Bagi setiap suku pada $27 x = 0$ dengan $27$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.1

Bagilah setiap suku di $27 x = 0$ dengan $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $27$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Langkah 4.1.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $27$ .

$x = 0$

Langkah 4.1.4

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 0}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(1, 8)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(1, 8)$ karena turunannya kontinu di $(1, 8)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[1, 8]$ dan terdiferensiasi pada $(1, 8)$ .

$f (x)$ kontinu di $[1, 8]$ dan terdiferensiasi di $(1, 8)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[1, 8]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1$

Langkah 7.2.2

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[1, 8]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $8$ pada pernyataan tersebut.

$f (8) = {(8)}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Tulis kembali $8$ sebagai $2^{3}$ .

$f (8) = {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Langkah 8.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 8.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (8) = 2^{3 (\frac{2}{3})}$

Langkah 8.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (8) = 2^{2}$

Langkah 8.2.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (8) = 4$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $4$ .

$4$

Langkah 9

Selesaikan $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{- (f (8) + f (1))}{- (8 + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{4 - 1}{(8) - (1)}$

Langkah 9.1.2

Kurangi $1$ dengan $4$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{(8) - (1)}$

Langkah 9.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{8 - 1}$

Langkah 9.1.4

Kurangi $1$ dengan $8$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$

Langkah 9.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$3 x^{\frac{1}{3}}, 7$

Langkah 9.2.2

Karena $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $3, 7$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $x^{\frac{1}{3}}$ .

Langkah 9.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 9.2.4

Karena $3$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $3$ .

$3$ adalah bilangan prima

Langkah 9.2.5

Karena $7$ tidak memiliki faktor selain $1$ dan $7$ .

$7$ adalah bilangan prima

Langkah 9.2.6

KPK dari $3, 7$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$3 \cdot 7$

Langkah 9.2.7

Kalikan $3$ dengan $7$ .

$21$

Langkah 9.2.8

KPK dari $x^{\frac{1}{3}}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 9.2.9

KPK untuk $3 x^{\frac{1}{3}}, 7$ adalah bagian bilangan $21$ dikalikan dengan bagian variabel.

$21 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 9.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ dengan $21 x^{\frac{1}{3}}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{7}$ dengan $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} (21 x^{\frac{1}{3}}) = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$21 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $21$ .

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$3 \cdot 7 \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$7 \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.3

Gabungkan $7$ dan $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{7 \cdot 2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.4

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{\frac{1}{3}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{14}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.2.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$14 = \frac{3}{7} (21 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.3.3.1.1

Faktorkan $7$ dari $21 x^{\frac{1}{3}}$ .

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Langkah 9.3.3.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$14 = \frac{3}{7} (7 (3 x^{\frac{1}{3}}))$

Langkah 9.3.3.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$14 = 3 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 9.3.3.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$14 = 9 x^{\frac{1}{3}}$

Langkah 9.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ .

$9 x^{\frac{1}{3}} = 14$

Langkah 9.4.2

Bagi setiap suku pada $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ dengan $9$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.1

Bagilah setiap suku di $9 x^{\frac{1}{3}} = 14$ dengan $9$ .

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Langkah 9.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{9 x^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{14}{9}$

Langkah 9.4.2.2.2

Bagilah $x^{\frac{1}{3}}$ dengan $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{14}{9}$

Langkah 9.4.3

Pangkatkan setiap sisi persamaan dengan pangkat $3$ untuk menghilangkan eksponen pecahan di sisi kiri.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Langkah 9.4.4

Sederhanakan bentuk eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Langkah 9.4.4.1.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.1.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Langkah 9.4.4.1.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Langkah 9.4.4.1.1.2

Sederhanakan.

$x = {(\frac{14}{9})}^{3}$

Langkah 9.4.4.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.2.1

Sederhanakan ${(\frac{14}{9})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.4.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{14}{9}$ .

$x = \frac{14^{3}}{9^{3}}$

Langkah 9.4.4.2.1.2

Naikkan $14$ menjadi pangkat $3$ .

$x = \frac{2744}{9^{3}}$

Langkah 9.4.4.2.1.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $3$ .

$x = \frac{2744}{729}$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = \frac{2744}{729}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 8$ .

Terdapat garis tangen pada $x = \frac{2744}{729}$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 8$

Langkah 11