Kalkulus Contoh

$f (x) = e^{- 2 x}$ , $[0, 2]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = e^{- 2 x}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[0, 2]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 2 x$ .

$e^{- 2 x} \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 3.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{- 2 x} (- 2 \cdot 1)$

Langkah 3.1.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} \cdot - 2$

Langkah 3.1.2.3.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{- 2 x}$ .

$f' (x) = - 2 e^{- 2 x}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 2 e^{- 2 x}$ .

$- 2 e^{- 2 x}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(0, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(0, 2)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(0, 2)$ karena turunannya kontinu di $(0, 2)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[0, 2]$ dan terdiferensiasi pada $(0, 2)$ .

$f (x)$ kontinu di $[0, 2]$ dan terdiferensiasi di $(0, 2)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[0, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = e^{- 2 \cdot 0}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f (0) = e^{0}$

Langkah 7.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[0, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = e^{- 2 \cdot 2}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f (2) = e^{- 4}$

Langkah 8.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (2) = \frac{1}{e^{4}}$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{1}{e^{4}}$

Langkah 9

Selesaikan $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $- 2 e^{- 2 x} = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $\frac{(\frac{1}{e^{4}}) - (1)}{(2) - (0)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Kalikan pembilang dan penyebut dari pecahan dengan $e^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kalikan $\frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$ dengan $\frac{e^{4}}{e^{4}}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4}}{e^{4}} \cdot \frac{\frac{1}{e^{4}} - (1)}{2 - (0)}$

Langkah 9.1.1.2

Gabungkan.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} (\frac{1}{e^{4}} - (1))}{e^{4} (2 - (0))}$

Langkah 9.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $e^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{e^{4} \frac{1}{e^{4}} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1 + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.1

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} + e^{4} (- (1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.2

Tulis kembali $e^{4} \cdot (1)$ sebagai ${(e^{2} \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{1^{2} - {(e^{2} \cdot 1)}^{2}}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.3

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = e^{2} \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2} \cdot 1) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.4.1

Kalikan $e^{2}$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 - (e^{2} \cdot 1))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - e^{2} \cdot 1)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4.3

Tulis kembali $e^{2} \cdot 1$ sebagai ${(e \cdot 1)}^{2}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1^{2} - {(e \cdot 1)}^{2})}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 1$ dan $b = e \cdot 1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e \cdot 1) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.4.4.5.1

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - (e \cdot 1)))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.4.4.5.2

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) ((1 + e) (1 - e))}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))}$

Langkah 9.1.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.5.1

Faktorkan $e^{4}$ dari $e^{4} \cdot 2 + e^{4} (- (0))$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 - (0))}$

Langkah 9.1.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} (2 + 0)}$

Langkah 9.1.5.3

Tambahkan $2$ dan $0$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{e^{4} \cdot 2}$

Langkah 9.1.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{4}$ .

$- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$

Langkah 9.2

Bagi setiap suku pada $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 e^{- 2 x}}{- 2} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Langkah 9.2.2.1.2

Bagilah $e^{- 2 x}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{\frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}}}{- 2}$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4}} \cdot \frac{1}{- 2}$

Langkah 9.2.3.2

Gabungkan.

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e) \cdot 1}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Langkah 9.2.3.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Kalikan $1 + e^{2}$ dengan $1$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{2 e^{4} \cdot - 2}$

Langkah 9.2.3.3.2

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$e^{- 2 x} = \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{- 4 e^{4}}$

Langkah 9.2.3.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Langkah 9.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 2 x}) = \ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$

Langkah 9.4

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (- \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}})$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 9.5

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- 2 x} = - \frac{(1 + e^{2}) (1 + e) (1 - e)}{4 e^{4}}$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 10

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 0$ and $b = 2$

Langkah 11