Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ , $[- 2, 2]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $[- 2, 2]$ atau tidak, tentukan domain $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Atur penyebut dalam $\frac{x^{2}}{x^{2} + 6}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + 6 = 0$

Langkah 2.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 6$

Langkah 2.1.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Langkah 2.1.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Tulis kembali $- 6$ sebagai $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Langkah 2.1.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (6)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Langkah 2.1.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Langkah 2.1.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{6}$

Langkah 2.1.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{6}$

Langkah 2.1.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Langkah 2.1.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 6$ .

$\frac{(x^{2} + 6) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 6) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 6$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 6) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 6]}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [6])}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.5

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 6) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 6 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$\frac{2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 12 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{12 x + 0}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.1.6.3.2.2

Tambahkan $12 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(- 2, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Untuk menentukan apakah fungsi tersebut kontinu pada $(- 2, 2)$ atau tidak, tentukan domain $f' (x) = \frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Atur penyebut dalam $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(x^{2} + 6)}^{2} = 0$

Langkah 4.1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Atur $x^{2} + 6$ agar sama dengan $0$ .

$x^{2} + 6 = 0$

Langkah 4.1.2.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 6$

Langkah 4.1.2.2.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 6}$

Langkah 4.1.2.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 6}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.3.1

Tulis kembali $- 6$ sebagai $- 1 (6)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (6)}$

Langkah 4.1.2.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (6)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{6}$

Langkah 4.1.2.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \sqrt{6}$

Langkah 4.1.2.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i \sqrt{6}$

Langkah 4.1.2.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i \sqrt{6}$

Langkah 4.1.2.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i \sqrt{6}, - i \sqrt{6}$

Langkah 4.1.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(- 2, 2)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(- 2, 2)$ karena turunannya kontinu di $(- 2, 2)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[- 2, 2]$ dan terdiferensiasi pada $(- 2, 2)$ .

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ dan terdiferensiasi di $(- 2, 2)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[- 2, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2}}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{{(- 2)}^{2} + 6}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 2) = \frac{4}{4 + 6}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $4$ dan $6$ .

$f (- 2) = \frac{4}{10}$

Langkah 7.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $10$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$f (- 2) = \frac{2 (2)}{10}$

Langkah 7.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $10$ .

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 5}$

Langkah 7.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- 2) = \frac{2}{5}$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2}{5}$

Langkah 8

Selesaikan $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{- (f (2) + f (- 2))}{- (2 - 2)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Faktorkan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $\frac{2}{5}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2}{5} - \frac{2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Langkah 8.1.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{2 - 2}{5}}{(2) - (- 2)}$

Langkah 8.1.3

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{\frac{0}{5}}{(2) - (- 2)}$

Langkah 8.1.4

Bagilah $0$ dengan $5$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{(2) - (- 2)}$

Langkah 8.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{2 + 2}$

Langkah 8.1.6

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = \frac{0}{4}$

Langkah 8.1.7

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$

Langkah 8.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

${(x^{2} + 6)}^{2}, 1$

Langkah 8.2.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

${(x^{2} + 6)}^{2}$

Langkah 8.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ dengan ${(x^{2} + 6)}^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} = 0$ dengan ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Langkah 8.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{{(x^{2} + 6)}^{2}} {(x^{2} + 6)}^{2} = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Langkah 8.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$12 x = 0 {(x^{2} + 6)}^{2}$

Langkah 8.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.3.3.1

Kalikan $0$ dengan ${(x^{2} + 6)}^{2}$ .

$12 x = 0$

Langkah 8.4

Bagi setiap suku pada $12 x = 0$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Bagilah setiap suku di $12 x = 0$ dengan $12$ .

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 8.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 x}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 8.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{12}$

Langkah 8.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $12$ .

$x = 0$

Langkah 9

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = 0$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = - 2$ dan $b = 2$ .

Terdapat garis tangen pada $x = 0$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = - 2$ dan $b = 2$

Langkah 10