Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} + 2 x$ , $[0, 7]$

Langkah 1

Tentukan turunan dari $f (x) = x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 x + 2 \cdot 1$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 x + 2$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x + 2$ .

$2 x + 2$

Langkah 2

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 3

$f' (x)$ kontinu di $[0, 7]$ .

$f' (x)$ kontinu

Langkah 4

Nilai rerata dari fungsi $f'$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 5

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x + 2 d x)$

Langkah 6

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} 2 x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 \int_{0}^{7} x d x + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 2 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{7}) + 2 x]_{0}^{7})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $7$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 ((\frac{7^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + 2 x]_{0}^{7})$

Langkah 11.2

Evaluasi $2 x$ pada $7$ dan pada $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{7^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0^{2}}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.1

Faktorkan $2$ dari $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 (0)}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - \frac{0}{1}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} - 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2} + 0) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.5

Tambahkan $\frac{49}{2}$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (2 (\frac{49}{2}) + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.6

Gabungkan $2$ dan $\frac{49}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.7

Kalikan $2$ dengan $49$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{98}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $98$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.1

Faktorkan $2$ dari $98$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.8.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 (1)} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{2 \cdot 49}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (\frac{49}{1} + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.8.2.4

Bagilah $49$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 2 \cdot 7 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.9

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 - 2 \cdot 0)$

Langkah 11.3.10

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14 + 0)$

Langkah 11.3.11

Tambahkan $14$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (49 + 14)$

Langkah 11.3.12

Tambahkan $49$ dan $14$ .

$A (x) = \frac{1}{7 - 0} (63)$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7 + 0} \cdot 63$

Langkah 12.2

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot 63$

Langkah 13

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Faktorkan $7$ dari $63$ .

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 (9))$

Langkah 13.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{7} \cdot (7 \cdot 9)$

Langkah 13.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = 9$

Langkah 14