Kalkulus Contoh

$y = 3 x^{3} - 2 x$ , $(1, 1)$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = 3 x^{3} - 2 x$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[1, 1]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{3} - 2 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Langkah 3.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2 x$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 3.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$9 x^{2} - 2 \cdot 1$

Langkah 3.1.3.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 9 x^{2} - 2$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $9 x^{2} - 2$ .

$9 x^{2} - 2$

Langkah 4

Find if the derivative is continuous on No solution.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $Tidak ada penyelesaian$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $Tidak ada penyelesaian$ karena turunannya kontinu di $Tidak ada penyelesaian$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[1, 1]$ dan terdiferensiasi pada $Tidak ada penyelesaian$ .

Tidak ada penyelesaian

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[1, 1]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = 3 {(1)}^{3} - 2 \cdot 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 2$ dengan $1$ .

$f (1) = 3 - 2$

Langkah 7.2.2

Kurangi $2$ dengan $3$ .

$f (1) = 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 8

Persamaan memiliki pecahan yang tidak terdefinisikan.

Tidak terdefinisi

Langkah 9

There are no solution, so there is no $x$ value where the tangent line is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$ .

No x value found where the tangent line at x is parallel to the line that passes through the end points $a = 1$ and $b = 1$

Langkah 10