Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ , $[1, 2]$

Langkah 1

Jika $f$ kontinu pada interval $[a, b]$ dan terdiferensialkan pada $(a, b)$ , maka setidaknya satu bilangan riil $c$ ada dalam interval $(a, b)$ sedemikian rupa sehingga $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ . Teorema nilai rata-ratanya menyatakan hubungan antara gradien garis tangen dengan kurva di $x = c$ dan gradien garis yang melalui titik-titik $(a, f (a))$ dan $(b, f (b))$ .

Jika $f (x)$ kontinu pada $[a, b]$

dan jika $f (x)$ terdiferensialkan pada $(a, b)$ ,

maka ada setidaknya satu titik, $c$ di $[a, b]$ : $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ .

Langkah 2

Periksa apakah $f (x) = x^{4} - 3 x^{3} + 4$ kontinu.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2.2

$f (x)$ kontinu di $[1, 2]$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 3

Tentukan turunannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} - 3 x^{3} + 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 x^{3}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$4 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan $3$ dengan $- 3$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [4]$

Langkah 3.1.3

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} + 0$

Langkah 3.1.3.2

Tambahkan $4 x^{3} - 9 x^{2}$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 9 x^{2}$

Langkah 3.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $4 x^{3} - 9 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2}$

Langkah 4

Tentukan apakah turunannya kontinu di $(1, 2)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 4.2

$f' (x)$ kontinu di $(1, 2)$ .

Fungsinya kontinu.

Langkah 5

Fungsinya terdiferensialkan pada $(1, 2)$ karena turunannya kontinu di $(1, 2)$ .

Fungsinya terdiferensialkan.

Langkah 6

$f (x)$ memenuhi kedua kondisi untuk teorema nilai rata-rata. Ini kontinu pada $[1, 2]$ dan terdiferensiasi pada $(1, 2)$ .

$f (x)$ kontinu di $[1, 2]$ dan terdiferensiasi di $(1, 2)$ .

Langkah 7

Evaluasi $f (a)$ dari interval $[1, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {(1)}^{4} - 3 {(1)}^{3} + 4$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 3 {(1)}^{3} + 4$

Langkah 7.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 4$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 4$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Kurangi $3$ dengan $1$ .

$f (1) = - 2 + 4$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $- 2$ dan $4$ .

$f (1) = 2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 8

Evaluasi $f (b)$ dari interval $[1, 2]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = {(2)}^{4} - 3 {(2)}^{3} + 4$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (2) = 16 - 3 {(2)}^{3} + 4$

Langkah 8.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$f (2) = 16 - 3 \cdot 8 + 4$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 3$ dengan $8$ .

$f (2) = 16 - 24 + 4$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi $24$ dengan $16$ .

$f (2) = - 8 + 4$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $- 8$ dan $4$ .

$f (2) = - 4$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 4$ .

$- 4$

Langkah 9

Selesaikan $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ untuk $x$ . $4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- (f (2) + f (1))}{- (2 + 1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan $\frac{(- 4) - (2)}{(2) - (1)}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 4 - 2}{2 - (1)}$

Langkah 9.1.1.2

Kurangi $2$ dengan $- 4$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - (1)}$

Langkah 9.1.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{2 - 1}$

Langkah 9.1.2.2

Kurangi $1$ dengan $2$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = \frac{- 6}{1}$

Langkah 9.1.3

Bagilah $- 6$ dengan $1$ .

$4 x^{3} - 9 x^{2} = - 6$

Langkah 9.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x \approx - 0.711668, 1.18903787, 1.77263012$

Langkah 10

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = - 0.711668$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$ .

Terdapat garis tangen pada $x = - 0.711668$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$

Langkah 11

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = 1.18903787$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$ .

Terdapat garis tangen pada $x = 1.18903787$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$

Langkah 12

Terdapat garis tangen yang ditemukan di $x = 1.77263012$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$ .

Terdapat garis tangen pada $x = 1.77263012$ yang sejajar dengan garis yang melalui titik-titik akhir $a = 1$ dan $b = 2$

Langkah 13