Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = {(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{({(x - 1)}^{2})}^{2}}$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Langkah 1.1.2.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{{(x - 1)}^{2} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.2.3

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri ${(x - 1)}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ({(x - 1)}^{2} x) - x^{2} \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 u \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - x^{2} (2 (x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) (1 + 0))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} ((x - 1) \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.4.5.2

Kalikan $x - 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} (x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 {(x - 1)}^{2} x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.1

Tulis kembali ${(x - 1)}^{2}$ sebagai $(x - 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 ((x - 1) (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.2

Perluas $(x - 1) (x - 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3.1.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3.1.3

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3.1.4

Tulis kembali $- 1 x$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x - x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.3.2

Kurangi $x$ dengan $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 2 x + 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.4

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.5.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} - 4 x + 2) x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.6

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.7.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.7.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.7.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x \cdot x + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.7.2.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 (x \cdot x) + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.7.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{2} x - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.8

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.8.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.8.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.1.8.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 (x \cdot x^{2}) - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.8.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{1 + 2} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.8.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} - 2 x^{2} \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.1.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 2 x^{3} + 2 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.2.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 0 + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.2.2

Tambahkan $- 4 x^{2} + 2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 2 x + 2 x^{2}}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.2.3

Tambahkan $- 4 x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.3

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x^{2} + 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.3.1

Faktorkan $2 x$ dari $- 2 x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.3.2

Faktorkan $2 x$ dari $2 x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x) + 2 x (1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.3.3

Faktorkan $2 x$ dari $2 x (- x) + 2 x (1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4

Hapus faktor persekutuan dari $- x + 1$ dan ${(x - 1)}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4.2

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x) - 1 \cdot - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4.4

Tulis kembali $- (x - 1)$ sebagai $- 1 (x - 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 x (- 1 (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4.5

Faktorkan $x - 1$ dari $2 x (- 1 (x - 1))$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.1.5.4.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.6.1

Faktorkan $x - 1$ dari ${(x - 1)}^{4}$ .

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.5.4.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{(x - 1) (2 x \cdot (- 1))}{(x - 1) {(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.5.4.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{2 x \cdot (- 1)}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{- 2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.1.5.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{2 x}{{(x - 1)}^{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x - 1)}^{3}}$

Langkah 1.2.2

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{({(x - 1)}^{3})}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x - 1)}^{3})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{3 \cdot 2}}$

Langkah 1.2.3.1.2

Kalikan $3$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan ${(x - 1)}^{3}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{3}}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - x (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Kalikan $3$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.5.2

Faktorkan ${(x - 1)}^{2}$ dari ${(x - 1)}^{3} - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.2.1

Faktorkan ${(x - 1)}^{2}$ dari ${(x - 1)}^{3}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) - 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.5.2.2

Faktorkan ${(x - 1)}^{2}$ dari $- 3 x ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1])$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.5.2.3

Faktorkan ${(x - 1)}^{2}$ dari ${(x - 1)}^{2} (x - 1) + {(x - 1)}^{2} (- 3 x (\frac{d}{d x} [x - 1]))$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{6}}$

Langkah 1.2.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Faktorkan ${(x - 1)}^{2}$ dari ${(x - 1)}^{6}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = - 2 \frac{{(x - 1)}^{2} (x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1)))}{{(x - 1)}^{2} {(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x - 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x (1 + 0)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.10

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x \cdot 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.10.2

Kalikan $- 3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{x - 1 - 3 x}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.10.3

Kurangi $3 x$ dengan $x$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.10.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{- 2 x - 1}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.10.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{(2) (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.2.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x + 2 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{- 4 x - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.3

Faktorkan $2$ dari $- 4 x - 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.11.3.1

Faktorkan $2$ dari $- 4 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) - 2}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.3.2

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x) + 2 (- 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.3.3

Faktorkan $2$ dari $2 (- 2 x) + 2 (- 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 2 x - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.4

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 x$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.5

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x) - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.6

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 x) - 1 (1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.7

Tulis kembali $- (2 x + 1)$ sebagai $- 1 (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = - \frac{2 (- 1 (2 x + 1))}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.2.11.9

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}})$

Langkah 1.2.11.10

Kalikan $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{{(x - 1)}^{4}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$2 (2 x + 1) = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagi setiap suku pada $2 (2 x + 1) = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Bagilah setiap suku di $2 (2 x + 1) = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 (2 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.2.1.2

Bagilah $2 x + 1$ dengan $1$ .

$2 x + 1 = \frac{0}{2}$

Langkah 2.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$2 x + 1 = 0$

Langkah 2.3.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x = - 1$

Langkah 2.3.3

Bagi setiap suku pada $2 x = - 1$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x = - 1$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{1}{2}$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $- \frac{1}{2}$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- \frac{1}{2})}^{2}}{{((- \frac{1}{2}) - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 {(\frac{1}{2})}^{2}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{2^{2}})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1 (\frac{1}{4})}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.1.6

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1)}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.1

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.2

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.2.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 1 - 2}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.4.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(\frac{- 3}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.5

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- \frac{3}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.7

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Langkah 3.1.2.2.8

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})}$

Langkah 3.1.2.2.9

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{2^{2}})}$

Langkah 3.1.2.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{1 (\frac{9}{4})}$

Langkah 3.1.2.2.11

Kalikan $\frac{9}{4}$ dengan $1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}}$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Langkah 3.1.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{9}$

Langkah 3.1.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{1}{9}$

Langkah 3.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9}$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \frac{1}{2}$ dalam $f (x) = \frac{x^{2}}{{(x - 1)}^{2}}$ adalah $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \frac{1}{2})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (2 (- 0.6) + 1)}{{((- 0.6) - 1)}^{4}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 (- 1.2 + 1)}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Langkah 5.2.1.2

Tambahkan $- 1.2$ dan $1$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 0.6 - 1)}^{4}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $- 0.6$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{{(- 1.6)}^{4}}$

Langkah 5.2.2.2

Naikkan $- 1.6$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{2 \cdot - 0.2}{6.5536}$

Langkah 5.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $- 0.2$ .

$f'' (- 0.6) = \frac{- 0.4}{6.5536}$

Langkah 5.2.3.2

Bagilah $- 0.4$ dengan $6.5536$ .

$f'' (- 0.6) = - 0.06103515$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.06103515$ .

$- 0.06103515$

Langkah 5.3

Pada $- 0.6$ , turunan kedua adalah $- 0.06103515$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - \frac{1}{2})$

Menurun pada $(- \infty, - \frac{1}{2})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \frac{1}{2}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (2 (- 0.4) + 1)}{{((- 0.4) - 1)}^{4}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $2$ dengan $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 (- 0.8 + 1)}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $- 0.8$ dan $1$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 0.4 - 1)}^{4}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Kurangi $1$ dengan $- 0.4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{{(- 1.4)}^{4}}$

Langkah 6.2.2.2

Naikkan $- 1.4$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{2 \cdot 0.2}{3.8416}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $2$ dengan $0.2$ .

$f'' (- 0.4) = \frac{0.4}{3.8416}$

Langkah 6.2.3.2

Bagilah $0.4$ dengan $3.8416$ .

$f'' (- 0.4) = 0.10412328$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0.10412328$ .

$0.10412328$

Langkah 6.3

Pada $- 0.4$ , turunan keduanya adalah $0.10412328$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \frac{1}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \frac{1}{2}, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$ .

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{9})$

Langkah 8