Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tulis kembali ${(x - 5)}^{2}$ sebagai $(x - 5) (x - 5)$ .

$\frac{d}{d x} [(x - 5) (x - 5) (x - 2)]$

Langkah 1.1.2

Perluas $(x - 5) (x - 5)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(x (x - 5) - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Langkah 1.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)) (x - 2)]$

Langkah 1.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$\frac{d}{d x} [(x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Langkah 1.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Langkah 1.1.3.1.2

Pindahkan $- 5$ ke sebelah kiri $x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5) (x - 2)]$

Langkah 1.1.3.1.3

Kalikan $- 5$ dengan $- 5$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 5 x - 5 x + 25) (x - 2)]$

Langkah 1.1.3.2

Kurangi $5 x$ dengan $- 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 10 x + 25) (x - 2)]$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2} - 10 x + 25$ dan $g (x) = x - 2$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \frac{d}{d x} [x - 2] + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 2$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5.3

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.5.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$(x^{2} - 10 x + 25) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5.4.2

Kalikan $x^{2} - 10 x + 25$ dengan $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 10 x + 25]$

Langkah 1.1.5.5

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} - 10 x + 25$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Langkah 1.1.5.6

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [25])$

Langkah 1.1.5.7

Karena $- 10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 10 x$ terhadap $x$ adalah $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25])$

Langkah 1.1.5.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25])$

Langkah 1.1.5.9

Kalikan $- 10$ dengan $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + \frac{d}{d x} [25])$

Langkah 1.1.5.10

Karena $25$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $25$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10 + 0)$

Langkah 1.1.5.11

Tambahkan $2 x - 10$ dan $0$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x - 10)$

Langkah 1.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 10 x + 25 + (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.3

Terapkan sifat distributif.

$x^{2} - 10 x + 25 + x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.6.4.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.2

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.5

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 10 - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.6

Pindahkan $- 10$ ke sebelah kiri $x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 \cdot x - 2 \cdot - 10$

Langkah 1.1.6.4.7

Kalikan $- 2$ dengan $- 10$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 4 x - 10 x + 20$

Langkah 1.1.6.4.8

Kurangi $10 x$ dengan $- 4 x$ .

$x^{2} - 10 x + 25 + 2 x^{2} - 14 x + 20$

Langkah 1.1.6.4.9

Tambahkan $x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 25 - 14 x + 20$

Langkah 1.1.6.4.10

Kurangi $14 x$ dengan $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 24 x + 25 + 20$

Langkah 1.1.6.4.11

Tambahkan $25$ dan $20$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 45$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x^{2} - 24 x + 45$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $2$ dengan $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 24$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 24 x$ terhadap $x$ adalah $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.3.3

Kalikan $- 24$ dengan $1$ .

$6 x - 24 + \frac{d}{d x} [45]$

Langkah 1.2.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Karena $45$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $45$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$6 x - 24 + 0$

Langkah 1.2.4.2

Tambahkan $6 x - 24$ dan $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $6 x - 24$ .

$6 x - 24$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $6 x - 24 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$6 x - 24 = 0$

Langkah 2.2

Tambahkan $24$ ke kedua sisi persamaan.

$6 x = 24$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $6 x = 24$ dengan $6$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $6 x = 24$ dengan $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{6 x}{6} = \frac{24}{6}$

Langkah 2.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{24}{6}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Bagilah $24$ dengan $6$ .

$x = 4$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $4$ dalam $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f (4) = {((4) - 5)}^{2} ((4) - 2)$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kurangi $5$ dengan $4$ .

$f (4) = {(- 1)}^{2} ((4) - 2)$

Langkah 3.1.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (4) = 1 ((4) - 2)$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan $(4) - 2$ dengan $1$ .

$f (4) = (4) - 2$

Langkah 3.1.2.4

Kurangi $2$ dengan $4$ .

$f (4) = 2$

Langkah 3.1.2.5

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $4$ dalam $f (x) = {(x - 5)}^{2} (x - 2)$ adalah $(4, 2)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(4, 2)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 4)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $3.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (3.9) = 6 (3.9) - 24$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kalikan $6$ dengan $3.9$ .

$f'' (3.9) = 23.4 - 24$

Langkah 5.2.2

Kurangi $24$ dengan $23.4$ .

$f'' (3.9) = - 0.6$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.6$ .

$- 0.6$

Langkah 5.3

Pada $3.9$ , turunan kedua adalah $- 0.6$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 4)$

Menurun pada $(- \infty, 4)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $4.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (4.1) = 6 (4.1) - 24$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $6$ dengan $4.1$ .

$f'' (4.1) = 24.6 - 24$

Langkah 6.2.2

Kurangi $24$ dengan $24.6$ .

$f'' (4.1) = 0.6$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.6$ .

$0.6$

Langkah 6.3

Pada $4.1$ , turunan keduanya adalah $0.6$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Langkah 8