Kalkulus Contoh

$x e^{x}$

Langkah 1

Tulis $x e^{x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = x e^{x}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Langkah 2.1.3.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} + e^{x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Tambahkan $e^{x}$ dan $e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 2.2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$e^{x} x + 2 e^{x}$

Langkah 2.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

$x e^{x} + 2 e^{x}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x} + 2 e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$x e^{x} + 2 e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} + 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$e^{x} x + 2 e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 2 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot 2$ .

$e^{x} (x + 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x + 2) = 0$ benar.

$x = - 2$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = x e^{x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = (- 2) \cdot e^{- 2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Langkah 4.1.2.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{e^{2}}$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 2) = - \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{2}{e^{2}}$ .

$- \frac{2}{e^{2}}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = x e^{x}$ adalah $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 2.1) = (- 2.1) \cdot e^{- 2.1} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 2.1 \cdot \frac{1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.2

Gabungkan $- 2.1$ dan $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = \frac{- 2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{e^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.4

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{{2.71828182}^{2.1}} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.5

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $2.1$ .

$f'' (- 2.1) = - \frac{2.1}{8.16616991} + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.6

Bagilah $2.1$ dengan $8.16616991$ .

$f'' (- 2.1) = - 1 \cdot 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $0.25715849$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 e^{- 2.1}$

Langkah 6.2.1.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + 2 (\frac{1}{e^{2.1}})$

Langkah 6.2.1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.25715849 + \frac{2}{e^{2.1}}$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $- 0.25715849$ dan $\frac{2}{e^{2.1}}$ .

$f'' (- 2.1) = - 0.01224564$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.01224564$ .

$- 0.01224564$

Langkah 6.3

Pada $- 2.1$ , turunan kedua adalah $- 0.01224564$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 2)$

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.9) = (- 1.9) \cdot e^{- 1.9} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 1.9 \cdot \frac{1}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.2

Gabungkan $- 1.9$ dan $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = \frac{- 1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{e^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.4

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{{2.71828182}^{1.9}} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.5

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $1.9$ .

$f'' (- 1.9) = - \frac{1.9}{6.68589444} + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.6

Bagilah $1.9$ dengan $6.68589444$ .

$f'' (- 1.9) = - 1 \cdot 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $0.28418037$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 e^{- 1.9}$

Langkah 7.2.1.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + 2 (\frac{1}{e^{1.9}})$

Langkah 7.2.1.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = - 0.28418037 + \frac{2}{e^{1.9}}$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 0.28418037$ dan $\frac{2}{e^{1.9}}$ .

$f'' (- 1.9) = 0.01495686$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.01495686$ .

$0.01495686$

Langkah 7.3

Pada $- 1.9$ , turunan keduanya adalah $0.01495686$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 2, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 2, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$ .

$(- 2, - \frac{2}{e^{2}})$

Langkah 9