Kalkulus Contoh

$h (x) = {(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari ${(x + 2)}^{7} - 7 x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{7}) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{7}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{7}$ dan $g (x) = x + 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x + 2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x + 2$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \frac{d}{d x} (x + 2) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + 2$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (2)) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} (1 + 0) + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.5

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.2.6

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} + \frac{d}{d x} (- 7 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.3.3

Kalikan $- 7$ dengan $1$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan menggunakan Aturan Konstanta.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7 + 0$

Langkah 1.1.4.2

Tambahkan $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ dan $0$ .

$f' (x) = 7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $h (x)$ terhadap $x$ adalah $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$7 {(x + 2)}^{6} - 7 = 0$

Langkah 2.2

Sederhanakan $7 {(x + 2)}^{6} - 7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Gunakan Teorema Binomial.

$7 (x^{6} + 6 x^{5} \cdot 2 + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.2.1

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 2^{2} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 15 x^{4} \cdot 4 + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.3

Kalikan $4$ dengan $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 2^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.4

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 20 x^{3} \cdot 8 + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.5

Kalikan $8$ dengan $20$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 2^{4} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 15 x^{2} \cdot 16 + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.7

Kalikan $16$ dengan $15$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 2^{5} + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.8

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 6 x \cdot 32 + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.9

Kalikan $32$ dengan $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 2^{6}) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.2.10

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$7 (x^{6} + 12 x^{5} + 60 x^{4} + 160 x^{3} + 240 x^{2} + 192 x + 64) - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.3

Terapkan sifat distributif.

$7 x^{6} + 7 (12 x^{5}) + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.4.1

Kalikan $12$ dengan $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 7 (60 x^{4}) + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4.2

Kalikan $60$ dengan $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 7 (160 x^{3}) + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4.3

Kalikan $160$ dengan $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 7 (240 x^{2}) + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4.4

Kalikan $240$ dengan $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 7 (192 x) + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4.5

Kalikan $192$ dengan $7$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 7 \cdot 64 - 7 = 0$

Langkah 2.2.1.4.6

Kalikan $7$ dengan $64$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 448 - 7 = 0$

Langkah 2.2.2

Kurangi $7$ dengan $448$ .

$7 x^{6} + 84 x^{5} + 420 x^{4} + 1120 x^{3} + 1680 x^{2} + 1344 x + 441 = 0$

Langkah 2.3

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = - 3, - 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 3, - 1$ .

$- 3, - 1$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$h' (- 4) = 7 {((- 4) + 2)}^{6} - 7$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Tambahkan $- 4$ dan $2$ .

$h' (- 4) = 7 {(- 2)}^{6} - 7$

Langkah 5.2.1.2

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $6$ .

$h' (- 4) = 7 \cdot 64 - 7$

Langkah 5.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $64$ .

$h' (- 4) = 448 - 7$

Langkah 5.2.2

Kurangi $7$ dengan $448$ .

$h' (- 4) = 441$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $441$ .

$441$

Langkah 5.3

Pada $x = - 4$ , turunannya adalah $441$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 3)$ karena $h' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 3, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$h' (- 2) = 7 {((- 2) + 2)}^{6} - 7$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tambahkan $- 2$ dan $2$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0^{6} - 7$

Langkah 6.2.1.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$h' (- 2) = 7 \cdot 0 - 7$

Langkah 6.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $0$ .

$h' (- 2) = 0 - 7$

Langkah 6.2.2

Kurangi $7$ dengan $0$ .

$h' (- 2) = - 7$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 7$ .

$- 7$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $- 7$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 3, - 1)$ .

Menurun pada $(- 3, - 1)$ karena $h' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$h' (0) = 7 {((0) + 2)}^{6} - 7$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$h' (0) = 7 \cdot 2^{6} - 7$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $6$ .

$h' (0) = 7 \cdot 64 - 7$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $7$ dengan $64$ .

$h' (0) = 448 - 7$

Langkah 7.2.2

Kurangi $7$ dengan $448$ .

$h' (0) = 441$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $441$ .

$441$

Langkah 7.3

Pada $x = 0$ , turunannya adalah $441$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 1, \infty)$ .

Meningkat pada $(- 1, \infty)$ karena $h' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 3), (- 1, \infty)$

Menurun pada: $(- 3, - 1)$

Langkah 9