Kalkulus Contoh

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + \frac{1}{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

Langkah 1.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1.1.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Langkah 2.3

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.3.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.4

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Langkah 2.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Langkah 2.4.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 = - x^{2}$

Langkah 2.5

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Langkah 2.5.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.5.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.5.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.5.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.5.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $1, - 1$ .

$1, - 1$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 4.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 2) = - \frac{1}{{(- 2)}^{2}} + 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + 1$

Langkah 6.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 6.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Langkah 6.2.4

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$f' (- 2) = \frac{3}{4}$

Langkah 6.2.5

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 2$ , turunannya adalah $\frac{3}{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- \frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Langkah 7.2.1.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 {(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Langkah 7.2.1.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})} + 1$

Langkah 7.2.1.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{2^{2}})} + 1$

Langkah 7.2.1.1.5

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{1 (\frac{1}{4})} + 1$

Langkah 7.2.1.1.6

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (- \frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Langkah 7.2.1.3

Kalikan $- (1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Langkah 7.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = - 3$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 7.3

Pada $x = - \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 1, 0)$ .

Menurun pada $(- 1, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, 1)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{1}{2}$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}} + 1$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1^{2}}{2^{2}}} + 1$

Langkah 8.2.1.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{2^{2}}} + 1$

Langkah 8.2.1.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{\frac{1}{4}} + 1$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$f' (\frac{1}{2}) = - (1 \cdot 4) + 1$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- (1 \cdot 4)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

Langkah 8.2.1.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 4 + 1$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 4$ dan $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 3$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 8.3

Pada $x = \frac{1}{2}$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 1)$ .

Menurun pada $(0, 1)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = - \frac{1}{{(2)}^{2}} + 1$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (2) = - \frac{1}{4} + 1$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$f' (2) = - \frac{1}{4} + \frac{4}{4}$

Langkah 9.2.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (2) = \frac{- 1 + 4}{4}$

Langkah 9.2.2.3

Tambahkan $- 1$ dan $4$ .

$f' (2) = \frac{3}{4}$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4}$

Langkah 9.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $\frac{3}{4}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 1), (1, \infty)$

Menurun pada: $(- 1, 0), (0, 1)$

Langkah 11