Kalkulus Contoh

$y = \frac{2 + x}{3 - x}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{2 + x}{3 - x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = 2 + x$ dan $g (x) = 3 - x$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [2 + x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 + x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{(3 - x) (0 + \frac{d}{d x} [x]) - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 - x) \frac{d}{d x} [x] - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{(3 - x) \cdot 1 - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.5

Kalikan $3 - x$ dengan $1$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [3 - x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 - x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.7

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.8

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) \frac{d}{d x} [- x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.9

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 - x - (2 + x) (- \frac{d}{d x} [x])}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.10

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.10.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{3 - x + 1 (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.10.2

Kalikan $2 + x$ dengan $1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \frac{d}{d x} [x]}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.11

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$\frac{3 - x + (2 + x) \cdot 1}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.12

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.12.1

Kalikan $2 + x$ dengan $1$ .

$\frac{3 - x + 2 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.12.2

Tambahkan $3$ dan $2$ .

$\frac{- x + 5 + x}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.12.3

Tambahkan $- x$ dan $x$ .

$\frac{0 + 5}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.12.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.12.4.1

Tambahkan $0$ dan $5$ .

$\frac{5}{{(3 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.2.12.4.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$5 = 0$

Langkah 3.3

Karena $5 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

${(- x + 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x$ .

${(- (x) + 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.1.1.2

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

${(- (x) - 1 \cdot - 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.1.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x) - 1 (- 3)$ .

${(- (x - 3))}^{2} = 0$

Langkah 5.2.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $- (x - 3)$ .

${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.2

Bagi setiap suku pada ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Bagilah setiap suku di ${(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2} = 0$ dengan ${(- 1)}^{2}$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari ${(- 1)}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 3)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2.1.2

Bagilah ${(x - 3)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.3.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{1}$

Langkah 5.2.2.3.2

Bagilah $0$ dengan $1$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Langkah 5.2.3

Atur $x - 3$ agar sama dengan $0$ .

$x - 3 = 0$

Langkah 5.2.4

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 3$

Langkah 6

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{5}{{(- x + 3)}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \frac{2 + x}{3 - x}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$ .

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 3)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f' (2) = \frac{5}{{(- (2) + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (2) = \frac{5}{{(- 2 + 3)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Tambahkan $- 2$ dan $3$ .

$f' (2) = \frac{5}{1^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (2) = \frac{5}{1}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$f' (2) = 5$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$5$

Langkah 7.3

Pada $x = 2$ , turunannya adalah $5$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 3)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 3)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(3, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = \frac{5}{{(- (4) + 3)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 4 + 3)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Tambahkan $- 4$ dan $3$ .

$f' (4) = \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (4) = \frac{5}{1}$

Langkah 8.2.2

Bagilah $5$ dengan $1$ .

$f' (4) = 5$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $5$ .

$5$

Langkah 8.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $5$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(3, \infty)$ .

Meningkat pada $(3, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 3), (3, \infty)$

Langkah 10