Kalkulus Contoh

$y = {(x - 4)}^{3}$

Langkah 1

Tulis $y = {(x - 4)}^{3}$ sebagai fungsi.

$f (x) = {(x - 4)}^{3}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

Langkah 2.1.2.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1$

Langkah 2.1.2.4.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $3 {(x - 4)}^{2}$ .

$3 {(x - 4)}^{2}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.2

Bagi setiap suku pada $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Bagilah setiap suku di $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ dengan $3$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.2.1.2

Bagilah ${(x - 4)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Langkah 3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Langkah 3.3

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 3.4

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $4$ .

$4$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = 3 {(x - 4)}^{2}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = {(x - 4)}^{3}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ .

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 4)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (3) = 3 {((3) - 4)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangi $4$ dengan $3$ .

$f' (3) = 3 {(- 1)}^{2}$

Langkah 6.2.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (3) = 3 \cdot 1$

Langkah 6.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (3) = 3$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 6.3

Pada $x = 3$ , turunannya adalah $3$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 4)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 4)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $5$ pada pernyataan tersebut.

$f' (5) = 3 {((5) - 4)}^{2}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kurangi $4$ dengan $5$ .

$f' (5) = 3 \cdot 1^{2}$

Langkah 7.2.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (5) = 3 \cdot 1$

Langkah 7.2.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f' (5) = 3$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3$ .

$3$

Langkah 7.3

Pada $x = 5$ , turunannya adalah $3$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(4, \infty)$ .

Meningkat pada $(4, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 4), (4, \infty)$

Langkah 9